第22讲 正弦定理和余弦定理的应用

RJA第22讲PART22正弦定理和余弦定理的应用教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考试说明考情分析教学参考考点考查方向考例考查热度测量距离问题求距离★☆☆测量高度问题求高度2014·全国卷Ⅰ16★☆☆测量角度问题求角度★☆☆真题再现■[2017－2013]课标全国卷真题再现[2014·全国卷Ⅰ]如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.[答案]150教学参考[解析]在Rt△ABC中,BC=100,∠CAB=45°,所以AC=1002.在△MAC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有𝐴𝑀sin∠𝑀𝐶𝐴=𝐴𝐶sin∠𝐴𝑀𝐶,即AM=sin60°sin45°×1002=1003,于是在Rt△AMN中,有MN=sin60°×1003=150.■[2017－2016]其他省份类似高考真题[2017·江苏卷]如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.教学参考教学参考解:(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=107,AM=40,所以MC=402-(107)2=30,从而sin∠MAC=34.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=𝑃1𝑄1sin∠𝑀𝐴𝐶=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)教学参考(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=62-142=24,从而GG1=𝐾𝐺12+𝐺𝐾2=242+322=40.教学参考设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sinα=sinπ2+∠𝐾𝐺𝐺1=cos∠KGG1=45.因为π2απ,所以cosα=-35.在△ENG中,由正弦定理可得40sin𝛼=14sin𝛽,解得sinβ=725.因为0βπ2,所以cosβ=2425.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×2425+-35×725=35.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=𝑃2𝑄2sin∠𝑁𝐸𝐺=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角,目标视线在水平线的叫仰角,目标视线在水平线的叫俯角,如图3-22-1(a)所示.2.方位角指从顺时针转到目标方向线的水平夹角,如图3-22-1(b)中B点的方位角为α.图3-22-1知识聚焦课前双基巩固水平线上方下方正北方向3.方向角相对于某正方向的,如北偏东α即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3-22-1(c)),其他方向角类似.4.坡角坡面与所成的二面角的度数(如图3-22-1(d),角θ为坡角).5.坡比坡面的铅直高度与之比(如图3-22-1(d),i为坡比).知识聚焦课前双基巩固水平角水平面水平长度对点演练课前双基巩固题组一常识题1.[教材改编]海上有A,B,C三个小岛,A,B相距53海里,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是海里.[答案]52[解析]易知∠ACB=60°,由正弦定理得𝐴𝐵sin𝐶=𝐵𝐶sin𝐴,即53sin60°=𝐵𝐶sin45°,解得BC=52.课前双基巩固2.[教材改编]已知△ABC中,AB=3,AC=2,A=60°,则△ABC的面积为.[答案]342[解析]由面积公式得S△ABC=12AB·AC·sinA=342.课前双基巩固3.[教材改编]如图3-22-2,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20m,则山高CD=m.(塔底大小忽略不计)图3-22-2[答案]10(3+3)[解析]如图,设CD=xm,则AE=(x-20)m,tan60°=𝐶𝐷𝐵𝐷,所以BD=𝐶𝐷tan60°=𝑥3=33x(m).在△AEC中,有x-20=33x,解得x=10(3+3)m.课前双基巩固题组二常错题4.如图3-22-3所示,在某次测量中,在A处测得同一铅垂平面的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则∠BAC=.图3-22-3◆索引:仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题演变为解三角形问题.[答案]130°[解析]∠BAC=60°+70°=130°.课前双基巩固5.如图3-22-4,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,则灯塔A相对于灯塔B的方向角是.图3-22-4[答案]南偏西80°[解析]由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.课前双基巩固6.点A在点B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,则点A的方位角是.[答案]200°[解析]根据方位角概念可得点A的方位角为200°.课前双基巩固7.为了测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是.[答案]201+33m[解析]如图所示,由已知可知,四边形CBMD为正方形,而CB=20m,∴BM=20m.又在Rt△AMD中,DM=20m,∠ADM=30°,∴AM=DMtan30°=2033(m),∴AB=AM+MB=2033+20=201+33m.探究点一测量距离问题课堂考点探究例1如图3-22-5,为了测量对岸A,B两点之间的距离,选取相距3km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之间的距离.图3-22-5[思路点拨]将题设条件转化到△ABC中的边角关系,再用余弦定理求解.课堂考点探究解:由题设及图可知,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=3km.在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,易得∠CBD=60°,所以BC=3sin75°sin60°=6+22(km).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=(3)2+6+222-2×3×6+22×cos75°=3+2+3-3=5,所以AB=5km,所以A,B之间的距离为5km.[总结反思]求距离问题的类型及解法:(1)类型:测量距离问题分为三种类型:两点间既不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解.课堂考点探究变式题如图3-22-6,四点A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=100m.试探究图中B,D之间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D之间的距离.(计算结果精确到1m,2≈1.414,3≈1.732,6≈2.449)图3-22-6课堂考点探究解:在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=100m,又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.在△ABC中,𝐴𝐵sin∠𝐵𝐶𝐴=𝐴𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶,即AB=𝐴𝐶sin60°sin15°=50(32+6)≈335(m),因此BD≈335m.所以B,D之间的距离与B,A之间的距离相等,约为335m.探究点二测量高度问题课堂考点探究[思路点拨](1)在△ABC中用正弦定理求BC的长;(2)在△BCD中用正弦定理求解.例2如图3-22-7,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α,从A处向山顶前进lm到达B后,又测得CD对于山坡的斜度为β,山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC的长;(2)若l=24,α=15°,β=45°,θ=30°,求建筑物CD的高度.图3-22-7课堂考点探究解:(1)在△ABC中,∠ACB=β-α,根据正弦定理得𝐵𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵,所以BC=𝑙sin𝛼sin(𝛽-𝛼)m.(2)由(1)知BC=𝑙sin𝛼sin(𝛽-𝛼)=24·sin15°sin30°=12(6-2)(m).在△BCD中,∠BDC=90°+30°=120°,sin∠BDC=32,根据正弦定理得𝐵𝐶sin∠𝐵𝐷𝐶=𝐶𝐷sin∠𝐶𝐵𝐷,所以CD=(24-83)m.例2如图3-22-7,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α,从A处向山顶前进lm到达B后,又测得CD对于山坡的斜度为β,山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC的长;(2)若l=24,α=15°,β=45°,θ=30°,求建筑物CD的高度.图3-22-7课堂考点探究[总结反思](1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角;(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图;(3)正确运用正弦、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用.课堂考点探究变式题(1)如图3-22-8,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.(2)如图3-22-9所示,在测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,则塔高AB=.图3-22-8图3-22-9课堂考点探究[解析](1)在Rt△ABC中,BC=100m,∠CAB=45°,所以AC=1002m.在△MAC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有𝐴𝑀sin∠𝑀𝐶𝐴=𝐴𝐶sin∠𝐴𝑀𝐶,即AM=sin60°sin45°×1002=1003(m),于是在Rt△AMN中,有MN=sin60°×1003=150(m).(2)在△BCD中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得𝐵𝐶sin∠𝐵𝐷𝐶=𝐶𝐷sin