宾馆预定策略数学建模

摘要本题为宾馆的预定策略问题，涉及价格制定和经营策略问题。通过对题目中提供的数据，以及对所要求解的问题的分析，本小组认为符合时序预测问题的基本条件。对于第一问，要求估计第九周和第十周参考标准间房价，属于短期预测。将对未来价格的预测问题分解为两个问题：对一周内各天价格所占一周内总价的比例，和各周价格变化趋势适。采用多段的、三次多项式趋势外推法解决第一个问题，模型的误差最大为0.39%，可见模型是十分精准的；同时采用三次多项式外推和一次移动平均法求解第二个问题，通过对比，一次移动平均法比趋势外推得到的数据，与已知数据更为符合。同时，其预测值比较符合经济规律，因而，其预测结果具有可靠性。对于问题二，宾馆采用升级客房档次或赔款来解决超额接受客房预订的纠纷。采用独立重复试验概型可以得到k个客人取消订单的概率；在计算出宾馆利润的期望值，通过在赔偿和客房数量上的限制条件，和保证宾馆最大利润的目的，可以确定出宾馆超额提供预定的最大数。对于问题三，要求为宾馆制定一个长期的经营策略，通过一二问的分析，可以得出合理的方案。一．问题重述某著名的旅游城市的A级宾馆主要提供举办会议和游客使用的。客房通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此，宾馆采用一些措施。首先，要求客户提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说周末价格比较高。研究的问题是：(1)试建立客房预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。表1给出了某宾馆8周标准房价格(单位:美元)，用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计第9周和第10周的标准房参考价格。你还可以收集更多的数据来验证你模型的价值（要求注明出处）。（2）在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数,以减低客户取消预定时宾馆的损失。当然这样做可能会带来新的风险,因为万一届时有超出客房数的客户出现,宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷,为此宾馆还会承担信誉风险.某宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。试为该宾馆制定合理的预定策略,并论证你的理由。（3）请为该宾馆制定一个长期的经营策略；并给总经理写一篇短文有关管理经营的建议书。二、问题假设以及符号说明A：假设1，在求解第一问中，假设第一周至第十周处在一个稳定的市场状态（淡季或旺季）；2，假设标准间的价格总体走势仅由两方面分量合成，即，每一周内的7日价格变化走势，周均价走势；2，假定所提供的数据与未来数据是连续的，不存在重大变故的干扰；3，假设宾馆的三类客房比例与市场需求比例相同，不存在巨大的入住率差异；4，假设客人取消预定都是在前一天中午以前；5，假设宾馆除开客房开支以外，总的运营成本，等于至少六成的客房有人入住时所得的利润；6，假设宾馆对为得到房间的以预定客人的赔偿为：同类房间利润的一倍。7，假设客人订房没有批量预定的情况。B:符号说明主要符号代表含义Yi一周内星期i的房价所占周总价比例的标准间价格的走比例Yk标准间价格的周均价内走势yk,i第k周，星期i的标准间均价k第k周I星期im1,m2,m3接受预定的标准客房、豪华套间、总统套房的数量A客人入住每间客房的利润D每位已经预定而又没有得到客房的赔偿C1,C2,C3除客房以外的其他总成本，分摊到三类房间的分别总和P一个已定客房的旅客在在前一天中午以前取消预定的概率gkk人未按时入住的概率LR(k)设宾馆相应与每种gk的利润Y(LR)那么宾馆的利润期望为三、问题分析显然，从本题提供的数据和所要求解的问题来看，它是属于时间序列的预测问题，故考虑用多项式趋势外推和移动平均法等方法求解。第一问：题目中给出了八周的标准间房价数据，要求预测第九、第十周的标准间房价，属于短期预测问题。显然，从所给数据来看，要建立单一时间变量的函数来确定房价是很难的，不过更具日常经验和经济学规律分析，可将影响标准间的房价变动的因素归纳到两方面：即，一周内房价的分布，和以周均价为代表的长期上涨规律。第二问:显然，预定了客房的客人取消预定的概率是相互独立的，则，m个预定中，有k个客人取消订单的事件符合独立重复试验概型；同时，由于k的不同导致宾馆利润的不同，故先计算出宾馆利润对于某一个k值的函数，在通过概率加权的办法算出宾馆利润的期望，通过取定合适的m值，使得利润期望最大，从而得出合适的宾馆客房超额预定策略。第三问：通过一二问的求解，提供建议四、模型建立4.1对于第一问：显然，在未来某一周内，由于工作日和双休日的固定，以及其所导致的对宾馆客房的需求的固定，可以推定：该周内任意一天的标间价格所占的七天总价的比例yi与yi的关系是不变的;同时，根据经济规律可知，标准间的周均价yk随时间的推移是按某种规律上涨的，因此，可以建立周数k与yk的关系。那么，未来第k周，星期i的标准间的价格yk,i上述两种决定价格变动规律的因素共同决定的。由此可得yk,i的表达式：𝑦𝑘,𝑗=𝑦𝑖∗𝑦𝑘4.2对于第二问，根据订房客人取消预定的变化，宾馆的利润也是变化的。为了确定一个最优的预定策略，将所有可能的情况根据其概率进行加权运算，最终得到具有代表性的总体利润的期望，从而确定一个合理的预定策略。k人未按时入住的概率为gk，宾馆相应与每种gk的利润为LR(k)，那么宾馆利润的期望为：0YLRnkLRkgk五、求解方法5.1第一问的求解5.1.1首先对标准间在每个周内的价格走势作分析，建立其周内变化模型。对一周内各天的均价走势的研究，得到一周内的价格变动，可以反应标准间价格变动因素中的一个周期性因素。通过对数据的分析得到前八周内，星期一至周日分别的标准间价格均值：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日标间均价50.550.546.75119125.2595.554.25其折线图如下：于是得到一周内各天的均价比例如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日标准间均价50.550.546.75119125.2595.554.25周均价541.75541.75541.75541.75541.75541.75541.75比例9.32%9.32%8.63%21.97%23.12%17.63%10.01%由于题目中已明确说明：，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说周末价格比较高。同时结合上图，对建立的各周内模型采用分段的多项式趋势外推法建立函数。分别用线性趋势外推，以及三次多项式外推，建立的分段函数如下：3211((1,2))((3,7))iaibiyaibicidi通过matlab求解方程组（代码见附录代码一），得到趋势外推法的解如下320.093216((1,2))1.53240.94540.16040.0084((3,7))iiyiiii其模拟的效果如下：1234567405060708090100110120130日期/星期均价/元周内走势星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日均价50.550.546.75119125.2595.554.25总价541.75541.75541.75541.75541.75541.75541.75比例0.0932160.0932160.0862940.2196590.2311950.1762810.100138拟合比例0.0932530.0932530.0862940.21910.23210.17570.1003误差0.04%0.04%0.00%0.25%0.39%0.33%0.16%从验证值与实际数据的误差来看，误差最大的为0.39%，在允许范围内，模拟效果比较理想。5.1.2.再对标准间前八周的周均价走势作分析，建立周间均价变化模型，并预测九十周均价。○1、多项式外推法求解（代码见附录代码二）对周间标准间的价格变化的研究，得到其周均价的价格走势，可以较为直观的反应在较长时间段内整体的价格趋势，以便于作短期预测。通过对题目所提供的数据，分析得到前八周各自的均价，根据对周均价走势的分析，和题目其他已知条件，首先通过趋势外推法建立模型如下三次多项式外推230.36879.526663.234023.9592yxxx其拟合前后对比如下周次每周价格走势拟合函数值偏差143.5714285730.116930.88%24967.351937.45%35389.957969.73%4169100.147240.74%590.42857143100.131710.73%670.4285714392.123730.80%776.1428571478.33522.88%867.5714285760.97849.76%拟合曲线见下图。可见，其误差以十分明显。其中，前6周误差都超过10%，最大的第三周甚至达到69.73%。而且根据它预测的第九、十周均价分别为42.2653，24.4082元。根据日常经验可知，均价随时间的推移是逐步上涨的，这与之不符。故，此时采用三次趋势外推是不合理的；若采用更高次的多项式外推法，可使前八周内误差减小，但其预测将变得更加不合常规。于是，此处不能采用多项式趋势外推。接下了，本文将采用一次移动平均的方法对第九第十周预测。○2采用一次移动平均法求解（代码见附录代码三）为了使数据最终结果与原始数据比较符合，并减小统计数据中由于偶然因素较大的数据的影响，取移动平均的观测点数为8。其最终拟合结果如下（为了便于绘图，在原始数据中令第九十周均价为0，不过这不影响算法的准确度）设未来第k周的周均价值为𝑦𝑘,则𝑦𝑘+1=18∑𝑦𝑗k𝑗=k−7其对九、十周的预测结果为77.3929元，与81.6205元，比较符合均价整体走势。5.1.3.综上，可得未来第k周，星期i的标准间价格的预测值yk,i得表达式：,kiikyyy1234567820406080100120140160180原始数据三次多项式外推拟合12345678910020406080100120140160180原始数据一次移动平均拟合k-1k8k-1,32k80.0816025((1,2))7(1.53240.94540.16040.0084)((3,7))8kijjjjiyiiiyiy根据以上公式计算出来的第九第十周标准间价格如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第九周50.5250.5246.75118.70125.7495.1954.34第十周53.2853.2849.30125.18132.61100.3957.315.2求解第二问5.2.1仅考虑赔偿现金的情况下：宾馆标准客房、豪华套间、总统套房的实有数量分别为n1,n2,n3;设宾馆接受预定的标准客房、豪华套间、总统套房的数量分别为m1,m2,m3;客人入住的客房的利润为A元每间；已经预定而又没有得到客房的赔偿为D元每间；宾馆除客房以外的其他成本分摊给三类房间，分别总共为C1,C2,C3元；设一个已定客房的旅客在在前一天中午以前取消预定的概率为p；其中k人未按时入住的概率为gk，则有：𝑔𝑘=𝐶𝑚𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)(𝑚−𝑘)；当m很大时，为了便于计算gk，根据泊松分布和二项分布的联系知道，此时可以用前者计算后者的近似值：即有，𝑔𝑘=(mp)𝑘𝑒−(𝑚𝑝)𝑘！;设宾馆相应与每种gk的利润为LR，那么LR(k)={(m−k)A−c,(m−k)≤n𝑛𝐴−(m−k−n)D−c,(m−k)n那么宾馆的利润期望为01010YLR(mkn)Dc(mk)Ac(1)()()nkmnmkkkkmnmnkkLRkgknAggmpACADgnmk根据假设，除去客房开支以外，宾馆总的运营成本，等于至少六成的客房有人