选修2-1 3.2.1空间向量与平行关系 3.2.2空间向量与垂直关1系 课件

3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系第2课时空间向量与垂直关系平面向量空间向量推广到向量渐渐成为重要工具从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.引入1、立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)导入：,,pabpxayabxyb向量与向量共如果两个向量不共线，则面的充要条件＝是存在实数对，，使＋.共线向量定理:引入2、复习共面向量定理:0//abaabbb对空间任意两个向量,（），的充要条件是存在数＝实，使.引入3、思考1.如何确定一个点在空间的位置？2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？OP⑴点探究点1点,直线，平面的位置向量提示：⑵直线aABP空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.对于直线l上的任一点P,存在实数t使得aABP,APtAB此方程称为直线的向量参数方程.OP=OA+ta或OP=xOA+yOB(x+y=1）.⑶平面POba空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.PbaOOPxayb空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.n这样，点O与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点.ab,探究点2平面的法向量A几点注意：1.法向量一定是非零向量.2.一个平面的所有法向量都互相平行.3.向量是平面的法向量，向量与平面平行或在平面内，则有0.nal平面的法向量：如图，直线，取直线l的方向向量，则向量叫做平面的法向量.laaa给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.aaan因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？lmab//lm//abab设直线,lm的方向向量分别为,ab，lua//l0auau////uvuv平面,的法向量分别为,uv，则vu平面,的法向量分别为,uv，则线线平行,;lmababR∥∥提示：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线面平行0;lauau∥面面平行,.uvuvR∥∥设直线,lm的方向向量分别为,ab，类型一：平面向量的法向量【典例1】(1)若已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为()A.(-1，0，1)B.(1，1，1)C.(1，2，3)D.(-1，2，3)(2)四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的坐标系A-xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量.【解析】(1)选B.设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．由题意因为所以令x＝1，得y＝z＝1.所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．AB1,1,0BC1,01＝－，＝，－．ABBC且，nnABxy0BCxz0，，nn(2)由题意知A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)．因为AD⊥平面SAB，所以＝(1，0，0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则＝(1，y，z)·(1，2，0)＝1＋2y＝0，所以又＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，所以所以即为平面SCD的一个法向量.ADDCn1y.2－DSn1z,211(1,,)22－n类型二：空间中线线平行问题【典例2】已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面xOz于点D，求点D的坐标.【解题指南】先设出D点坐标，由AD∥BC得出直线AD与BC的方向向量的关系进而求出点D的坐标.【解析】因点D在平面xOz中，所以可设点D(x,0,z),得向量=(x，-3,z-5)，向量=(-1,3,0).因为直线AD∥BC,所以有向量即有从而x=-λ,-3=3λ,z-5=0，得x=1,z=5.故点D的坐标为(1，0，5).ADBCADBC,∥ADBC,类型三：向量法求证线面、面面平行问题【典例3】如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点.证明：EF∥平面SAD.【解题指南】取SD的中点，利用直线EF的方向向量与平面内某直线的方向向量平行进行证明【证明】建立如图所示的空间直角坐标系.设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，C(0，a,0)，取SD的中点连接AG，则因为所以EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF平面SAD，所以EF∥平面SAD.aabE(a,,0)F(0,,)222，bEF(a,0,).2＝bG(0,0,)2，bAG(a,0,).2＝EFAG＝，(1)lm0.abab探究点3垂直关系：lmab设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2)l//.auaulauABC平面,的法向量分别为,uv，则3（）uvuv0.αβuv提示：⊥m⇔a⊥b⇔设直线的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为，则线线垂直线面垂直面面垂直ab=0;⊥α⇔a∥u⇔a=λu;α⊥β⇔u⊥v,mu,v⇔u=0.vlll探究点2求平面的法向量⑴设平面的法向量为(,,)nxyz.⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc.⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组0,0.nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.类型一：线线垂直的证明【典例1】(1)已知空间三点A(0，0，1)，B(-1，1，1)，C(1，2，-3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________.(2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，证明：AB⊥A1C.1ACAA23ABC.3，【解析】(1)设M(x，y，z)，又＝(x－1，y－2，z＋3)，由点M在直线AB上得共线即x=－λ，y=λ，z－1=0，又因为CM⊥AB，向量与向量的数量积为0，即=0，-(x－1)+(y－2)=0，联立得解得点M的坐标为答案：AB110AMxyz1＝－，，，＝，，－，CMABAM与CMABCMAB1xy20,xy,z10,－－－－11xyz1.22－，，11(,,1).22－11(,,1)22－(2)在△ABC中，由正弦定理可求得所以AB⊥AC.以A为原点，分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，即AB⊥A1C.1sinACBACB.261A(0,0,23)，C(0230)，，，111AB(200)AC(0,23,23)ABAC0ABAC,，，，，类型二：线面垂直的证明【典例2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，点E是PC的中点.证明：(1)AE⊥CD.(2)PD⊥平面ABE.【解析】因为AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1，则P(0，0，1).(1)因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形．所以设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得解得所以又因为即所以AE⊥CD.13131C(0)E().22442，，，，，ACCD0＝，2323yD(00),33＝，则，，13CD(0)26，，131AE()442，，，11331CDAE0024642，AECD，(2)方法一：因为P(0,0,1)，所以又因为所以即PD⊥AE.因为＝(1,0,0)，所以所以PD⊥AB，又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面AEB.23PD(0,1).3＝，13231AEPD0104432－＝，AEPD，ABPDAB0，方法二：设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(1,0,0)，所以令y＝2，则所以因为显然因为∥n，所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.AB131AE(,,)442，x0AB0131xyz0AE0442，，即，，nnz3＝－，(0,23)＝,－．n23PD(0,1)3,，3PD.3＝nPDPD类型三：面面垂直的证明【典例3】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC.A1A=AB=AC=2A1C1=2，点D为BC中点.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.3，【证明】方法一：建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，因为点D为BC的中点，所以D点坐标为(1,1,0)，11A(0,03)C(0,13)，，，，所以因为＝－2＋2＋0＝0，＝0＋0＋0＝0，所以所以BC⊥AD，BC⊥AA1，又因为AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.1BC2,2,0AD1,1,0AA(0,03)＝－，＝，＝，，BCAD1BCAA1BCADBCAA，，方法二：同方法一，得设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由得令y1＝－1，得x1＝1，z1＝0，所以n1＝(1，－1,0)．1AA(0,03)AD1,1,0＝，，＝，1BC2,2,0CC(013)＝－，＝，－，，111AA0AD0，，nn1113z0xy0.，由得令y2＝1，得x2＝1，所以n2＝所以n1·n2＝1－1＋0＝0，所以n1⊥n2，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.221BC0CC0，，nn22222x2y0y3z0.，23z3＝，3(1,1)3，．