留数及其应用

第五章留数及其应用•§5.1孤立奇点•§5.2留数•§5.3留数在定积分计算中的应用•§5.4习题五本章主要内容：•一、孤立奇点的定义、分类与判断方法•二、极点求留数的方法–如何判断极点的阶数–不同阶数极点留数的求法•三、无穷远点求留数的方法•四、留数定理，利用留数定理求积分•五、留数在定积分中的应用§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点奇点为圆心画圈，如果能找到一个圈，圈里只有它一个奇点！奇点为圆心画圈，如果无论圈有多小，圈里总还有其它奇点！——非孤立奇点5.1.1孤立奇点的定义§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点举例：的孤立奇点是函数例101.5zzfz的两个孤立奇点是函数和例1112.521-zizzf-ziz5.1.1孤立奇点的定义§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点举例：的奇点例zzf1sin13.5,2,1,1nnz0z还有孤立奇点非孤立奇点5.1.1孤立奇点的定义§5.1孤立奇点孤立奇点：奇点：函数不解析的点如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点5.1.1孤立奇点的定义洛朗级数的去心邻域内可展开为在0zzzf的孤立奇点是zfz0内解析在去心邻域00d-zzzf可去奇点10,0nCn极点20,0nCn使存在有限个阶极点m0;0,--mnCCmn一阶极点为简单极点本性奇点30,0nCn无限个为什么要分类？分类的标准是什么？分类的标准是负幂次项的系数的不同因为奇点的性质是由负幂次项决定的5.1.2孤立奇点的分类--nnnzzCzf0洛朗级数的去心邻域内可展开为在0zzzf----0010nnnnnnzzCzzC--nnnzzCzf0洛朗级数的去心邻域内可展开为在0zzzf----0010nnnnnnzzCzzC-!31sin2zzz-!31sin2zzzz21!2111zzez5.1.2孤立奇点的分类可去奇点10,0nCn极点20,0nCn使存在有限个阶极点m0;0,--mnCCmn一阶极点为简单极点本性奇点30,0nCn无限个000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzfzfzzfzfzzfzfz如果为的可去奇点存在且有限如果为的极点如果为的本性奇点不存在且不为000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzfzfzzfzfzzfzfz如果为的可去奇点存在且有限如果为的极点如果为的本性奇点不存在且不为000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzfzfzzfzfzzfzfz如果为的可去奇点存在且有限如果为的极点如果为的本性奇点不存在且不为000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzfzfzzfzfzzfzfz如果为的可去奇点存在且有限如果为的极点如果为的本性奇点不存在且不为000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzfzfzzfzfzzfzfz如果为的可去奇点存在且有限如果为的极点如果为的本性奇点不存在且不为000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzfzfzzfzfzzfzfz如果为的可去奇点存在且有限如果为的极点如果为的本性奇点不存在且不为阶极点的为如果mzfz0mmzzCzfzz--00lim1sinlim0zzz20sinlimzzz0lim,lim1010-zzzzee5.1.3孤立奇点分类的判断000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzfzfzzfzfzzfzfz如果为的可去奇点存在且有限如果为的极点如果为的本性奇点不存在且不为000000()lim();()lim();()lim().zzzzzzzfzfzzfzfzzfzfz如果为的可去奇点存在且有限如果为的极点如果为的本性奇点不存在且不为阶极点的为如果mzfz0mmzzCzfzz--00lim211-z如何判断极点的阶数？（重点）112-zez几阶极点？几阶极点？12-zez几阶零点？5.1.5判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.这是因为,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证z0是f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数c0=c1=...=cm-1=0,cm0,这等价于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。5.1.5判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法,010cos0nsi;00sin例如：级零点的是10-ze如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.简单地说，就是求导一直到在z0的导数不等于零了，导了几次就是几级零点。,011;01000--zzzzeee例如：级零点的是sin0z115.1.5判断函数零点级数的方法第一种方法——求导法如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.简单地说，就是求导一直到在z0的导数不等于零了，导了几次就是几级零点。,010cos0nsi;00sincos1;00cos10--zz例如：,011;011;0100000------eeezezezzzzzz例如：级零点的是cos10z-级零点的是10zez--225.1.5判断函数零点级数的方法第二种方法——级数法级零点的是则其中如果0,010100nzfzczzczzczzczfnnnnnnkkk---级零点的就是那么项的幂次是点展开泰勒级数的第一在也就是说,00nzfznzzf级零点的是sin0z,!212-zzez例如：,!4121cos142--zzz例如：,!3sin3-zzz例如：级零点的是10-ze级零点的是cos10z-1125.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级零点的是nm10zgzfz;10的一级零点的一级零点，是是例如：-zezz级零点的是则10-zezz25.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级零点的是如果n,mmin,20zgzfznm;11202级零点的级零点，是的是例如：-zezz级零点的是则102-zezz15.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级零点的是如果n,mmin,20zgzfznm或者级数法判断求导法几级零点，需要直接用的是如果,0zgzfznm;1110级零点的级零点，是的是例如：-zezz级零点的1zez--级零点。是21×!!2!!2!1122nzzznzzzzennz---5.1.5判断函数零点级数的方法三个判断的基本原则级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz,110级零点的是例如：-ze级零点的是sin02z24,1sin0级零点的是例如：z级零点的是14-ze级零点的是300mkzzfzk-级零点的是特别当00mkzfzk数的零点是孤立的一个不恒为零的解析函0,000-zzzzzzzfm解析，且在5.1.6零点和极点的关系这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.定理如果z0是f(z)的m级极点,则z0就是的m级零点,反过来也成立.)(1zf5.1.7判断极点级数的方法级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级极点的是级极点，的是则n1100zgzmzfz级极点的是nm110zgzfz;1110的一级极点的一级极点，是是例如：-zezz级极点的是则110-zezz25.1.7判断极点级数的方法级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级极点的是级极点，的是则n1100zgzmzfz级极点的是如果n,mmax11,20zgzfznm级极点的是则11102-zezz;1112102级极点的级极点，是的是例如：-zezz25.1.7判断极点级数的方法级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级极点的是级极点，的是则n1100zgzmzfz级极点的是如果n,mmax11,20zgzfznm;1110的一级极点的一级极点，是是例如：-zezz级极点的是则1110--zezz1×5.1.7判断极点级数的方法级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级极点的是级极点，的是则n1100zgzmzfz级极点的是如果n,mmax11,20zgzfznm）的方法判断再利用（成为需要通分如果311,zgzfzfzgzgzfnm）的方法判断。再用下面（通分成需要把3,11111-----zzzezzeez;1110的一级极点的一级极点，是是例如：-zezz5.1.7判断极点级数的方法级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级极点的是级极点，的是则n1100zgzmzfz0,30--mnmnzgzfz级极点的是;311sin02级零点的级零点，是的是例如：-zezzz级极点的是则1sin02-zezzz25.1.7判断极点级数的方法级零点的是级零点，的是如果n00zgzmzfz级极点的是级极点，的是则n1100zgzmzfz的可去奇点是，则如果zgzfzmn00-;21210级零点的级零点，是的是例如：---zzezzez的可去奇点是则110---zzezzez0,30--mnmnzgzfz级极点的是,2,1,0;211nRdfiCnn其中：如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R|z|内解析,称点为f(z)的孤立奇点.5.1.8函数在无穷远点的性态--zRzCzCzCzfnnnnnnnnn10主要部分解析部分可去奇点1的孤立奇点的分类是函数zfz00n