函数展开成傅里叶级数

第七节傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数或余弦级数一、三角级数,三角函数系的正交性一.三角级数三角函数系的正交性在高等数学学习当中，接触两类基函数：函数在一点的性质周期函数(整体性质)Fourier级数三角级数表达周期函数nnnx,x,x,xxxu321)(nnnxxaxf)()(00nxnxxx,x,x,,nxnxxuncos,sin2cos2sincossin1cossin)(10)sin()(nnntnAAtf谐波分析10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa令,sinnnnAa,cosnnnAb,xt称为三角级数.简单的周期运动:复杂的周期运动:得级数(一)三角级数表达周期函数1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,.cos2)(10nnnxAAxf大胆地采用了三角级数表示函数:.dcos)(π21π20xnxxfAn其中1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角函数时的系数.也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程1753年.丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为是分不开的.三角级数的形式,这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展.1822年,傅立叶在«热的解析理论»一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论.傅立叶指出:)()π,π(xf上的有界函数任意定义在可以展开成级数其中....)2,1(dsin)(π1ππnxnxxfbn,...)2,1,0(dcos)(π1ππnxnxxfan.)sincos(210nnnnxbnxaa)(xf~xxnkxnkd)cos()cos(21证:1xnxdcos1xnxdsin0xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk机动目录上页下页返回结束(二)、三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx上的积分不等于0.2d11xxxndsin2xxndcos2,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在机动目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数问题:是什么？数，若函数能展开成三角级iiba,.12.展开的条件是什么?的周期函数，是周期为设π2)(xf.)1(0a求xkxbkxaxaxxfkkkd])sincos([d2d)(ππ1ππ0ππ10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf且能展开成三角级数,220a.d)(π1ππ0xxfa则xkxbxkxaxakkkkdsindcosd2ππ1ππ1ππ0.)2(na求xnxaxnxxfdcos2dcos)(0]dcossindcoscos[π1xnxkxbxnxkxakkk(利用正交性)xnxandcos2,naxnxxfandcos)(1则).,3,2,1(n.)3(nb求xnxxfbndsin)(1则).,3,2,1(nxnxaxnxxfdsin2dsin)(0]dsinsindsincos[1xnxkxbxnxkxakkk,nb(利用正交性)),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann2020),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann或傅里叶系数代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数10)sincos(2nnnnxbnxaa问题:10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性给出了严格的证明.得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.定理(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有,)(xf,2)()(xfxfx为间断点其中nnba,(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介目录上页下页返回结束的连续点，是设)()π,π(.10xfx则有)π,π(.2x设间断点，的是)(xf;)()sincos(2:)(10xfnxbnxaaxSnnn;)]0()0([21)(xfxfxS则有时，当π,π.3x有.)]0()0([21)(ffxS既例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为xxxf0,10,1)(解:先求傅里叶系数00dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0n将f(x)展成傅里叶级数.oyx11机动目录上页下页返回结束00dsin11dsin)1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn)1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin4)(x3sin31xkk)12sin(121),2,,0,(xx机动目录上页下页返回结束77sinx]99sinx1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112)傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sinxoyx11说明:f(x)的情况见右图.机动目录上页下页返回结束otu11不同频率正弦波逐个叠加成方波,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt物理意义])12sin(1213sin31[sin4)(xkkxxxf).,π2,π,0;(xxtusin4)3sin31(sin4ttu)5sin513sin31(sin4tttu)7sin715sin513sin31(sin4ttttu)7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.解所给函数满足狄利克雷充分条件..),2,1,0()12(处不连续在点kkx2)(f收敛于20.2.)(0,00,)(π2)(展开为傅里叶级数将表达式为的周期函数，它在上的是周期为设xfxtxxfxf例2).())12((xfkxx处收敛于在连续点txfa)d(100d1tx,20221x0dcos1xxnxxnxxfandcos)(102cossin1nnxnnxx2cos1nn),2,1(2,012,)12(22kknknkxnxxfbndsin)(1.)1(1nn0dsin1xnxx3o223yx2),3,,(xx),()()()2(xfxFT周期延拓)]()([21ff端点处收敛于非周期函数展开成傅里叶级数即非周期函数，上有定义，只在区间如果函数],[)(xf并且满足收敛定理的条件，可利用周期的延拓展开成傅里叶级数，).(2,(,[xF的周期函数成周期为拓广外补充函数定义，把它或在π]ππ)π周期延拓)(xF傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法),[,)(xxf,)2(kxf其它机动目录上页下页返回结束例3.将函数级数.oyx则xxFad)(10xxfd)(10222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(102cossin2nnxnnxx解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),机动目录上页下页返回结束x3cos312)1cos(22nn12knkn2,0),2,1(k,2)12(4kxnxxfdsin)(12xcosx5cos512机动目录上页下页返回结束物理意义12)12cos()12(142)(nxnnxf)(xπ2π4π2π4ππ)(xfxyO不同频率余弦波逐个叠加成锯齿波利用此傅氏展开式求几个特殊的级数的和,)12cos()12(142)(12nxnnxf因为有,0)0(,0fx时当,513118222,4131211222设),8(513112221,6141212222,41312112223,44212因为,243212所以21,62132.122例4.将函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:2yxo20a0dsin2ttEttntuan0dcos)(2ttntE0dcossin20d)1sin()1sin(ttntnE延拓成以2为周期的函数0d)(2ttu机动目录上页下页返回结束t2cos310d)1sin()1sin(ttntnEan12,0kn1a0)(tu0d2sinttE21t4cos151t6cos351E2E4xkkEk2cos141412机动目录上页下页返回结束)(200,1,1)(2处收敛于傅里叶级数在点为周期的则以设xxxxxf,)(满足收敛定理的条件显然xf例5解即的平均值与处的和为其傅里叶级数在,)()(ffx2)()(ff2)1()1(2.22.22故应填入三、正弦级数或余弦级数1.奇函数与偶函数的傅里叶级数),3,2,1(dsin)(2),2,1,0(0)(2)1(0nxnxxfbnaxfnn数为级数时，它的傅里叶系展开成傅里叶的奇函数当周期为),3,2,1(0),2,1,0(dcos)(2)(2)2(0nbnxnxxfaxfnn数为级数时，它的傅里叶系展开成傅里叶的偶函数当周期为证,)()1(是奇函数设xfxnxxfandcos)(10),,3,2,1,0(n奇函数0dsin)