函数的最大值、最小值

人教A版必修一·新课标·数学第2课时函数的最大值、最小值人教A版必修一·新课标·数学目标要求1.理解函数的最大(小)值及其几何意义．2．会求一些简单的函数最大值或最小值.人教A版必修一·新课标·数学热点提示1.利用函数的单调性确定函数最值是一种常用方法．2．感悟数形结合的思想.人教A版必修一·新课标·数学人教A版必修一·新课标·数学1．函数的最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．人教A版必修一·新课标·数学温馨提示：①定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”一词的理解．②对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．人教A版必修一·新课标·数学2．函数的最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．人教A版必修一·新课标·数学3．函数的最值(1)定义：函数的最大值和最小值统称为函数的最值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标．(3)说明：函数的最值是在整个定义域内的性质．●想一想：从图象上看，函数的最大值、最小值在什么位置取得？提示：最大值(最小值)是函数的整体概念，从图象上看，最大值(最小值)是整个函数图象的最高点(最低点)．人教A版必修一·新课标·数学答案：C1．函数y＝－x＋1在区间[12，2]上的最大值是()A．－12B．－1C.12D．3人教A版必修一·新课标·数学2．函数f(x)＝9－ax2(a0)在[0,3]上的最大值为()A．9B．9(1－a)C．9－aD．9－a2答案：A人教A版必修一·新课标·数学3．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________．答案：34．函数f(x)＝2x＋1在[0,1]上的最大值是a，最小值是b，则a＋b＝________.解析：a＝f(1)＝3，b＝f(0)＝1，则a＋b＝3＋1＝4.答案：4人教A版必修一·新课标·数学5．求函数y＝2x在区间[2,4]上的最大值、最小值．解：y＝2x在区间[2,4]上是减函数，则最大值是f(2)＝1，最小值是f(4)＝12.人教A版必修一·新课标·数学人教A版必修一·新课标·数学类型一利用图象法求最值【例1】已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)画出f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的最小值．思路分析：(1)讨论x与±1的大小，化解析式为分段函数解析式形式；(2)函数图象最低点的纵坐标是f(x)的最小值．人教A版必修一·新课标·数学(2)由图象，得函数的最小值是2解：(1)y＝|x＋1|＋|x－1|＝－2x，x≤－1，2，－1x1，2x，x≥1，其图象如下图所示．人教A版必修一·新课标·数学图象法求函数y＝f(x)最值的步骤：(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)依据函数最值的几何意义，借助于图象写出最值．人教A版必修一·新课标·数学1求函数y＝|x＋1|－|2－x|的最值．解：y＝|x＋1|－|2－x|＝－3x≤－12x－1－1x≤23x2其图象如右图所示，可知值域是[－3,3]，∴ymax＝3，ymin＝－3.人教A版必修一·新课标·数学思路分析：先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值．类型二利用函数单调性求最值【例2】求函数f(x)＝xx－1在区间[2,5]上的最大值与最小值．人教A版必修一·新课标·数学解：任取2≤x1x2≤5，则f(x1)＝x1x1－1，f(x2)＝x2x2－1，f(x2)－f(x1)＝x2x2－1－x1x1－1＝x1－x2x2－1x1－1，∵2≤x1x2≤5，∴x1－x20，x2－10，x1－10，∴f(x2)－f(x1)0.∴f(x2)f(x1)．人教A版必修一·新课标·数学温馨提示：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．∴f(x)＝xx－1在区间[2,5]上是单调减函数．∴f(x)max＝f(2)＝22－1＝2，f(x)min＝f(5)＝55－1＝54.人教A版必修一·新课标·数学(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．人教A版必修一·新课标·数学2求函数f(x)＝x＋1－1－x的最大值．解：函数的自变量x需满足x＋1≥0，1－x≥0，所以－1≤x≤1.又因为y＝x＋1在x∈[－1,1]上为递增函数，y＝1－x在x∈[－1,1]上为递减函数，所以f(x)＝x＋1－1－x在[－1,1]上为单调递增函数，故f(x)max＝f(1)＝2.人教A版必修一·新课标·数学类型三二次函数的最值问题【例3】求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．思路分析：解答本题可先求出f(x)的对称轴x＝a，然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最小值．当0≤a≤2，即对称轴x＝a在区间[0,2]内时，求函数的最大值，应再细分为0≤a1和1≤a≤2讨论．人教A版必修一·新课标·数学解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a；(2)当0≤a1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a；(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1；(4)当a2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.人教A版必修一·新课标·数学(1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性．(2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系．人教A版必修一·新课标·数学3求函数f(x)＝x2－(2＋6a2)x＋3a2在区间[0,1]上的最小值m(a)和最大值M(a)．解：函数f(x)的对称轴是x＝－－2＋6a22＝3a2＋1≥1，已知区间[0,1]在对称轴的左侧，且二次项系数大于0，所以函数f(x)在区间[0,1]上为减函数，所以当x＝0时，f(x)取得最大值M(a)＝3a2，当x＝1时，函数f(x)取得最小值m(a)＝1－(2＋6a2)＋3a2＝－3a2－1.即m(a)＝－3a2－1，M(a)＝3a2.人教A版必修一·新课标·数学类型四最值的实际应用【例4】将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？思路分析：解答本题应先设出售价x元及利润y元，建立利润与售价的关系式．人教A版必修一·新课标·数学解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个．∴y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000≤9000.故当x＝70时，ymax＝9000.答：售价为70元时，利润最大为9000元．人教A版必修一·新课标·数学解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．人教A版必修一·新课标·数学4某公司生产一种电子仪器的固定总成本是2万元，每生产一台需另投入100元，已知总收益满足k(x)＝400x－12x20≤x≤40080000x400，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量x的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？人教A版必修一·新课标·数学解：(1)由题意知f(x)＝k(x)－100x－20000＝300x－12x2－200000≤x≤40060000－100xx400.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，即当x＝300时，f(x)有最大值25000，当x400时，f(x)20000.综上可知，当月产量为300台时，公司获得最大利润25000元．人教A版必修一·新课标·数学1．函数的最值与值域、单调性之间的关系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．人教A版必修一·新课标·数学2．二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置(在区间上、在区间左边，还是在区间右边)来决定，当开口方向和对称轴位置不确定时，则需要进行分类讨论．①一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最大值、最小值的规律是：当a0时，区间[m，n]内的数距对称轴x＝－b2a越近，在该点处的函数值越小，越远值越大．②求含参变量的二次函数在指定区间上的最值，通常按照顶点横坐标在区间内，区间左，区间右三种情况来分类讨论．