二元一次不等式组与简单的线性规划问题

第1页（共11页）（五）二元一次不等式组与简单的线性规划问题一、知识归纳:1．二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式0CByAx在平面直角坐标系中表示直线0CByAx某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.对于在直线0CByAx同一侧的所有点),(yx，实数CByAx的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0)，从CByAx00的正负即可判断0CByAx表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）2．线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。3．线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）（3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数nymxz的最大（小）时，直线0nymx往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。二、学习要点：1．掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定方法。2．对线性目标函数ByAxz中B的符号一定要注意：当0B时，当直线过可行域且在y轴截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当0B时，当直线过可行域且在y轴截距最大时，z值最小，在y轴截距最小时，z值最大。3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点。4．由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误。三、例题分析：例1．①画出不等式062yx表示的平面区域.②点),2(t在直线0632yx的上方,则t的取值范围是________.第2页（共11页）③画出不等式组3005xyxyx表示的平面区域.例2．设yx,满足约束条件：1255334xyxyx，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：（1）yxz106；（2）yxz2；（3）yxz2（yx,是整数）；（4）22yx；（5）1xy例3．甲乙两个粮库要向A、B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨大米，A镇需70吨大米，B镇需110吨大米，两库到两镇的路程和运费如下表：路程/km运费（元﹒11kmt）甲库乙库甲库乙库A镇20151212B镇2520108（1）这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米？才能使总运费最省？此时总运费是多少？（2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？第3页（共11页）例4．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能的多。但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍。问桌子、椅子各买多少才合适？四、练习题：（一）选择题：1．不等式02yx表示的平面区域是A．B．C．D．2．满足不等式022xy的点),(yx的集合（用阴影表示）是A．B．C．D．3．若函数abxaxy2的图象与x轴有两个交点，则点),(ba在aOb平面上的区域（不含边界）为A．B．C．D．第4页（共11页）4．不等式组1012012yxyxyx表示的平面区域是A．一个正三角形及其几个内部B．一个等腰三角形及其内部C．在第一象限内的一个无界区域D．不包含第一象限的一个有界区域5．如果实数xy、满足条件101010xyyxy，那么2xy的最大值为A．2B．1C．2D．36.已知点P（x，y）在不等式组022,01,02yxyx表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是A．[－2，－1]B．[－2，1]C．[－1，2]D．[1，2]7．双曲线224xy的两条渐近线与直线3x围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是A．0003xyxyxB．0003xyxyxC．0003xyxyxD．0003xyxyx8．在平面直角坐标系中，不等式组2,02,02xyxyx表示的平面区域的面积是A．42B．4C．22D．29．在约束条件4200xysyxyx下，当53s时，目标函数yxz23的最大值的变化范围是A.]15,6[B.]15,7[C.]8,6[D.]8,7[10.已知平面区域D由以3,1A、2,5B、1,3C为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点yx,可使目标函数myxz取得最小值，则mA.2B.1C.1D.4第5页（共11页）（二）填空题：11．点)4,(aP到直线022yx的距离为52，且P在033yx表示的区域内，则a_____12．不等式组0,0016401yxyxyx表示的区域中,坐标是整数的点共有_________个。13．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费___元.14．设变量x、y满足约束条件632xyyxxy，则目标函数yxz2的最小值为_______15．已知点(,)Pxy的坐标满足条件41xyyxx，点O为坐标原点，那么||PO的最小值等于_______,最大值等于____________.（三）解答题：16．某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?第6页（共11页）17．某运输队公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，有10名驾驶员。每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次。每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本最低?18．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？第7页（共11页）（五）二元一次不等式组与简单的线性规划问题参考答案三、例题分析：例1①画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.解：先画直线2x+y-6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2x+y-6,∵2×0+0-6=-6＜0,∴原点在2x+y-6＜0表示的平面区域内，不等式2x+y-6＜0表示的区域如图：②点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是__(t2/3)______.③画出不等式组3005xyxyx表示的平面区域.解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域:例2．设yx,满足约束条件：1255334xyxyx，分别求（1）yxz106；（2）yxz2；（3）yxz2（yx,是整数）；（4）22yx；（5）1xy的最大值与最小值。解：（1）先作可行域，如下图所示中ABC的区域，且求得)2,5(A、)1,1(B、)522,1(C作出直线0106:0yxl，再将直线0l平移，当0l的平行线1l过点B时，可使yxz106达到最小值；当0l的平行线2l过点A时，可使yxz106达到最大值。故1611016minz，5021056maxz（2）同上，作出直线02:0yxl，再将直线0l平移，当0l的平行线1l过点C时，可使yxz2达到最小值；当0l的平行线2l过点A时，可使yxz2达到最大值。则512minz，8maxzB(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=0063xy第8页（共11页）（3）同上，作出直线02:0yxl，再将直线0l平移，当0l的平行线2l过点A时，可使yxz2达到最大值，8maxz当0l的平行线1l过点C时，可使yxz2达到最小值，但由于522不是整数，点)522,1(C不是最优解，当0l过可行域内的点)4,1(时，可使yxz2达到最小值，2minz（4）表示区域内的点),(yx到原点的距离的平方。则),(yx落在点)1,1(B时，最小，),(yx落在点)2,5(A时，最大，故2min，29425max（5）表示区域内的点),(yx与点)0,1(D连线的斜率。则),(yx落在点)2,5(A时，最小，),(yx落在点)522,1(C时，最大，故31min，511max例3．甲乙两个粮库要向A、B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨大米，A镇需70吨大米，B镇需110吨大米，两库到两镇的路程和运费如下表：路程/km运费（元﹒11kmt）甲库乙库甲库乙库A镇20151212B镇2520108（1）这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米？才能使总运费最省？此时总运费是多少？（2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？例3．解：设甲粮库向A镇运送大米x吨，向B镇运送大米y吨，总运费为z元，则乙粮库向A镇运送大米)700(x吨，向B镇运送大米)110(y吨，目标函数是)700(121510252012xyxz)110(820y302009060yx其中线性约束条件是：070080)110()700(100yxyxyx，即0700100100yxyxyx第9页（共11页）可行域如右图。当30,70yx时，总运费最省37100maxz元当100,0yx时，总运费最不合理39200minz元。答：甲粮库要向A镇运送大米70吨，向B镇运送大米30吨，乙粮库要向A镇运送大米0吨，向B镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元。最不合理的调动方案是甲粮库要向A镇运送大米0吨，向B镇运送大米100吨，乙粮库要向A镇运送大米70吨，向B镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元。例4．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能的多。但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍。问桌子、椅子各买多少才合适？解：设桌子、椅子分别买yx,张，共买yxz张，依题意，得Nyxyxxyyx,200020505.1可行域如图。由20002050yxyx，得72007200yx，即)7200,7200(A由200020505.1yxxy，得27525yx，即)275,25(B由yxz，即直线zxy平移得知，当直线过点B时，即25x，275y时，z最大。由于Ny，故37y答：买25张桌子、37张椅子时是最优