61.3.1函数的单调性与导数

复习引入：问题1：怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即.00)()(2121xyxxxfxf也即(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即00)()(2121xyxxxfxf也即(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1x2.(3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性.例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.解：取x1x2∈R，f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）=(x1－x2)(x1+x2－4）则当x1x22时，x1+x2－40，f(x1)f(x2)，那么y=f(x)单调递减。当2x1x2时，x1+x2－40，f(x1)f(x2)，那么y=f(x)单调递增。综上y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。函数y=x2－4x＋3的图象：2yx0单增区间：（２，+∞）.单减区间：(－∞，２).0yx12-1-2单增区间：(-∞，-1)和（1，+∞）.单减区间：(-1，0）和（0，1）.例2：讨论函数的单调性。xxy1;2)1(23xxxy;ln)2(xxy.1)3(xeyx那么如何求出下列函数的单调性呢?发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系：00)()(2121xyxxxfxf也即增函数时有00)()(2121xyxxxfxf也即减函数时有这表明：导数的正、负与函数的单调性密切相关2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间如果f′(x)0,注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f′(x)0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x令6x2-12x0,解得x0或x2，则f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋∞）.再令6x2-12x0,解得0x2,则f(x)的单减区间(0,2).注:当x=0或2时,f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.例4求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]的单调区间.例5判定函数y=ex-x+1的单调区间.解:f’(x)=ex-1当ex-10时,解得x0.则函数的单增区间为(0,+∞).当ex-10时,解得x0.即函数的单减区间为(-∞,0).总结：根据导数确定函数的单调性1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)0,得函数单增区间;解不等式f′(x)0,得函数单减区间.练习:P74知识应用1．应用导数求函数的单调区间(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。基础训练：增(2)．函数y=x2－3x在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为函数(填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。增减既不是增函数又不是减函数变1：求函数的单调区间。3233yxx理解训练：求函数的单调区间。233yxx).21,(,21,036);,21(,21,03636:单调减区间为单调增区间为解xxxxxy).32,0(,320,069);,32()0,(,032,06969:222单调减区间为单调增区间为或解xxxxxxxxxy变2：求函数的单调区间。33xyex巩固训练：);0,(,0,1,033);,0(,0,1,03333:单调减区间为单调增区间为解xeexeeeyxxxxx变3：求函数的单调区间。1yx),0()0,(,00,01;,,011)1(:222单调减区间为或无单调增区间不存在解xxxxxxxy已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fxABxyo23()yfx2．应用导数信息确定函数大致图象设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)Ccossin335.(,).(,2).(,).(2,3)2222yxxxABCD函数在下面哪个区间内是增函数()0sin,0sin,0),2,(,0sin,0sinsincos)(coscoscos)cos()sincos(:xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy当解B1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)课堂练习A33(,)333、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()(A)单调递增函数（B）单调递减函数(C)部份单调增，部分单调减(D)单调性不能确定2、函数y=a(x3-x)的减区间为a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a1)33,33(AB