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超级布朗尼烤锅摘要随着经济的发展，越来越多的烤箱进入人们的日常生活，烘烤食物成为了最普通的需求之一。人们对不同烤盘烘烤食物的满意度也不同，矩形的烤盘热量集中在四角处，容易使食物烤糊；圆形的烤盘热量可以均匀分布，但是烤箱的空间使用效率不高。由此建立最佳的烤盘选择满意度模型有着很重要的实际意义。问题一：对于烤箱的形状、加热管的对称性和审美效果，为了是食物各个角或边加热情况相同，选用的烤盘形状尽可能对称。这里，运用几何图示法，观察并分析对称形状烤盘，得出目标函数空间使用效率表达式，根据柯西不等式，得出最佳的烤盘形状可以达到空间使用效率最高。问题二：为了进一步反应烤箱内部的温度变化，我们采用极小化算法模拟出加热杆产生的温度场。发现烤箱内壁上端距离烤箱较近，受到的热辐射比较强，烤箱内壁大多数为金属材料，热传导系数很大，烤箱内壁各处很快就可以达到相同的温度，所以烤箱内壁近似可以看作是一个发热的平面。然后运用有限元分析法得出不同形状的烤盘温度分布函数，通过Matlab软件，画出矩形、圆和椭圆的温度分布图，更加清楚的发现：在角的对角线上，热量的分布延角平均线递减。而顶角处得两条边的法线之间的部分则为两个烤箱内壁共同作用的结果。并最终根据这一特点，确立了烤盘温度分布指标l函数表达式，通过计算得出当n越大，l越小，烤盘周围热量分布越均匀，烘烤的食物受到烤盘顶角的影响就越小。由于圆上的各点的法线只有一条，即法线之间的夹角为0，故对于圆上的各点，聚集的热量相同，即在圆形的烤盘周围热量分布比较均匀。问题三：优化组合问题1和问题2，使得权重p和(1-p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤盘形状和热量分布情况是如何改变的。烤箱空间利用率M越大，烤盘温度分布指标l越小，顾客对烤盘就越满意。建立最优化模型，从而确立最佳的烤盘形状。并假设烤箱的面积28000cmS，烤盘的面2400cmA，5.0p时通过计算n=4即矩形时，F取最大值，此时顾客对烤盘的满意度最大。关键词：几何图示法极小化算法有限元分析最优化模型一、问题重述终极布朗尼烤锅当用一个长方形的平底锅（盘）烘烤时，热量被集中在4个角，在角落处，食物可能被烤焦了，而边缘处烤的不够熟。在一个圆形的平底锅（盘）热量被均匀地分布在整个外边缘，在边缘处食物不会被烤焦。但是，大多数的烤箱的形状是矩形的，采用了圆形的锅（盘）相对于烤箱的使用空间而言效率不高。为所有形状的锅（盘）----包括从矩形到圆形以及中间的形状，建立一个模型来表示整个锅（盘）的外边缘热量的分布。假设：1.形状是矩形的烤箱宽长比为W/L；2.每个烤锅（盘）的面积为A；3.每个烤箱最初只有两个均匀放置的烤架。根据以下条件，建立一个能使用的最佳类型或形状的烤锅（盘）：1.放入烤箱里的烤锅（盘）数量的最大值为(N)；2.烤锅（盘）的平均分布热量最大值为(H)；3.优化组合条件1和条件2，使得权重p和(1-p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤锅形状和热量分布情况是如何改变的。除了完成规定的解决方案，为布朗尼美食家杂志准备一到两页的宣传广告，需要突出你的设计和结果。二、问题分析2.1对问题一的分析对于烤箱的形状、加热管的对称性和审美效果，为了是食物各个角或边加热情况相同，选用的烤盘形状尽可能对称，如正六边形、正八边形……圆等。如果不考虑烘箱加热情况（即食物是否烤焦情况），什么形状的烤盘放入到一个确定面积的烤箱的空间使用效率最高，通过建立利用率模型。再次，运用几何图示法，可以以正六边形为例，观察计算六边形的空间利用率，观察并分析对称形状烤盘，得出目标函数空间使用效率表达式，求出边长和宽的关系，最终得出正多边形的面积最大利用率可以取得最大值并最终得出最佳的烤盘形状。2.2问题二的分析针对问题二，文中要求让烤盘的热量平均分布热量最大，大多数烤箱，采用双杆加热装置，即在烤箱的顶部和底部均有两个加热杆作为热源，烤箱中有两个烤架烤架上放上烤盘就可以烤食物了。用了两种方法来模拟烤盘内热量的分布：最速下降法和牛顿法。最速下降法是以负梯度方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是相互直交的寻找目标函数法。牛顿法利用目标函数的迭代点公式模型，并利用这个二次模型函数的极小点序列去逼近目标函数的极小点。通过利用分析烤箱内温度场的分布，通过对发热杆热辐射分析，利用matlab软件模拟发现随着离发热杆的远离，辐射的的热量随距离的变化关系，接着建立有限元分析模型，同时考虑热传导和热辐射，运用Matlab软件分别模拟出了从矩形到圆形以及中间的形状（椭圆）的温度场分布模型，最后建立最佳烤盘分析模型。2.3问题三的分析问题三是需要优化组合条件1和条件2，使得权重p和(1-p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤锅形状和热量分布情况的改变，本文可以综合烤盘空间利用率和烤盘形状温度场分布这两种情况结合，通过建立满意度方程，利用题中所给的限制条件，求取最佳的形状改变。三、模型的假设3.1烤箱密封行良好；3.2烤箱工作在稳定状态，无其它突发情况；3.3模拟温度时每次只放入烤箱一种类型的盘子。3.4烤盘材质均匀。四、符号的说明符号说明T温度a正多边形的行数b正多边形的列数A正多边形的面积M多边形的利用率Q单位体积的热生成度c介质的比热容介质单位体积的热量密度),(txqi热对流强度值h介质发热系数T热传导过程的节点温度向量C比热容矩阵F顾客对该烤盘的满意度x正多边形的边长l烤出的食物质量五、模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解5.1.1几何图示法模型对于烤箱的形状、加热管的对称性和审美效果，为了是食物各个角或边加热情况相同，选用的烤盘形状尽可能对称，如正六边形、正八边形……圆等。如果不考虑烘箱加热情况（即食物是否烤焦情况），什么形状的烤盘放入到一个确定面积的烤箱的空间使用效率最高。运用几何图示法，观察并分析对称形状烤盘，得出目标函数空间使用效率表达式，并最终得出最佳的烤盘形状。图15.1.2模型的求解假设摆放的对称正多边形的行数和列数分别为a和b，摆放的对称正多边形的个数为baw，每个对称正多边形的面积为A，可以推导出w个对称正多边形所占的面积AbaAwS。由上图，也可以很容易看出对称：多个正六边性填充该矩形红色区域，沿着矩形红色区域的两条长边上均有a个半正六边形；沿着矩形红色区域的两条宽边上均有b个半正六边形。于是，对称正多边形填充矩形区域，对称正多边形的面积最大利用率AbaAwAwAbAbAaAaAwAwM21212121(1)又因为baw，根据柯西不等式wba2，当ba时，正多边形的面积最大利用率可以取得最大值。矩形烤箱的宽长之比为LW/的不同，矩形烤盘的长宽只需也满足之比为LW/，就会是ba，使面积利用率达到最大；其他正多边形顶多也能很难达到ba，很难使正多边形的利用率达到最大。因此，选用矩形烤盘，烤箱的空间使用效率最大。5.2问题二模型的建立与求解5.2.1加热杆产生的温度场模拟大多数烤箱，采用双杆加热装置，即在烤箱的顶部和底部均有两个加热杆作为热源，烤箱中有两个烤架烤架上放上烤盘就可以烤食物了。用了两种方法来模拟烤盘内热量的分布：最速下降法和牛顿法[1]。最速下降法是以负梯度方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是相互直交的寻找目标函数法。牛顿法利用目标函数f(x)在迭代点Xk处的Taylor展开式作为模型函数，并利用这个二次模型函数的极小点序列去逼近目标函数的极小点。设无约束目标函数为周长与面积的比值AAxyyxf)4)((2)(2(2)其中A=1，f：Rn→Rl一阶连续可微。基本思想是从当前Xk出发，取函数f(X)在点Xk处下降最快的方向作为我们的搜索方向pk。由f(x)的Taylor展开式知：)()'()()(kkkkkktppxfttpxfxf(3)略去t的高阶无穷小项目不计，可见取)(kkxfp，函数值下降的最多，运用MAYLAB软件模拟的加热杆发热所产生的温度场如图所示xy00.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.9图2如上图为加热管作用产生的温度场，很容易可以看出烤箱内壁上端距离烤箱较近，受到的热辐射比较强，烤箱内壁大多数为金属材料，热传导系数很大，烤箱内壁各处很快就可以达到相同的温度，所以烤箱内壁近似可以看作是一个发热的平面。由于内壁之间的热辐射是相互影响的，当距离足够远的情况下，壁与壁之间的相互影响可以忽略不计，只考虑影响最大的烤箱内壁对食物的影响。5.2.2烤盘的温度场模拟（有限元分析）对于体积为V，表面积为的连续介质，根据能量守恒定律及Fourier定律，可得到热传导的抛物线型微分方程：0tTcQxTxjiji(3)其中T为温度，Q为单位体积的热生成率,iq是热矢量的分量，为单位体积的质量密度，c为比热，t表示时间，ij是材料在指定空间方向上的热传导率张量分量。建立的4类不同边界条件具体如下：1).表面T上的给定温度为：),(txTTi(4)2).在q边界上给定热流强度的边界条件为：nTtxqn),((5)其中，n表示q的外法线方向。),(txqi是随空间位置和时间变化的给定热流强度值。3).在边界上给定对流的边界条件为：)(TThq(6)其中，h是表面对流发热系数，T是表面温度，T是外界环境介质温度。4).在Γ边界上给定热辐射边界为：)(44TTq(7)其中，是stefan-Boltzmann常数，是表面辐射效率。T是辐射表面温度，T是与该辐射面进行热量交换的环境介质温度。用有限单元将连续区域离散后，每个单元内的温度分布可近似表示为：(8)其中，N是描述温度在单元内变化的插值函数向量，T是依赖于时间的单元节点温度向量。通过加权残差的Galerkin方法，既通过使热传导方程和边界条件取加权残差为0来近似导出热传导的有限元求解方程：QTFKtTC)((7)(9)其中T是节点温度向量，Q是节点热流向量，C是热容矩阵TNtTxNtxTTiiniii)()(),(1(dVNcNCelementvTe),K传热矩阵(dVxNxNKjijTelementVie)对流或辐射边界对方程（7）的影响：elementTeqhNdNF,对Q为elementappleNdhTQ给定初始条件和边界条件后，由积分方程式（7）就可得到整个时间域上的结构温度分布。5.2.3模型的求解定义盘面初始温度为298.15K（250C），定义电热丝固定温度为673.15K（4000C），定义热对流边界条件，环境温度为298.15K（250C），热对流系数为3.65e-8w/mm3*K；烤盘的材料参数为：密度28e-6kg/mm3，热导率0.109w/(mm*k)，比热963J/(kg*k)。运用Matlab软件分别模拟出了从矩形到圆形以及中间的形状（椭圆）的温度场分布如下图：最终得出受热点到烤箱内壁的距离r的增加，受热点的温度以指数函数递减。对于规则的几何图形来说，在角的对角线上，热量的分布延角平均线递减。而顶角处得两条边的法线之间的部分则为两个烤箱内壁共同作用的结果。5.2.4最佳烤盘形状分析将实际情况模型化，用l代表用烤盘考出食物的质量。即n21，n22，nnl2221。即当几何图形定点的两边上的法线之间的夹角减小，聚集在夹角处的热量与边上其他点的热量之差在不断减小。故当n越大，l越小，烤盘周围热量分布越均匀，烘烤的食物受到烤盘顶角的影响就越小。由于圆上的各点的法线只有一条，即法线之间的夹角为0，故对于圆上的各点，聚集的热量相同，即在圆形的烤盘周围热量分布比较均匀。通过计算，得到各个不同形状的烤盘对应的热量均匀系数。表1热量分布均匀程度系数表边数45678