轨道角动量算符

1量子力学第三章氢原子和类氢离子的波函数2目录一、氢原子的波函数二、核外电子的几率分布三、轨道角动量算符3一、氢原子波函数(1)1、氢原子的束缚态能量本征函数20022021002022()e(,,)x1)4,[()(,)()]1pllnlnlnnlmnlmnlllZZZRrNrrLrnZanaaeRrrdrRrYnra氢原子(=1)的束缚态能量本征函数为，+-rrxyz4一、氢原子波函数(2)1、氢原子的束缚态能量本征函数||2222002()1cos)(cos)(cos)1()exp()2|(,)|sin(,,)()((,))()1,()lmlmlmmlmlmmlmnlmnmllmmrRrYYNdPdimdYd氢原子的束缚态能量本征（－，函数为）5一、氢原子(3)2、氢原子能级图422220220221324()121,2,3,,nneEnaeBohreEannn令为半径，有主量子数6一、氢原子波函数（4）3(1)、氢原子的能级简并度422222201100100011,1,2,3,,3220,1,2,,(1)(,,)()(,)0,1,2,,(1),1,,1,.1,0,01()(100)nnlmnllmeeEEnnannlnrRrYlnmllllnlmnnlmERY主量子数，角量子数波函数角量子数磁量子数当时，能级不简并7一、氢原子波函数(5)3(2)、氢原子的能级简并度2220020002102110211211121121,1,2,3,,0,1,2,,(1);,1,,1,;(,,)()(,)20,10011,0,1,()(200),(210),(211),(211)nnlmnllmEnnlnmllllrRrYnllmlmnlmERYRYRYRY波函数，当；当；；；2114,n能级重简并即简并8一、氢原子波函数(6)3(3)、氢原子的能级简并度12020,1,2,,1,1,,1,(21),(21)nnlmnnlnnlnmlllllnEflnn，个对给定的属于的量子态数目，即简并度为氢原子的能级是简并的。9二、角动量的本征值与本征函数（1）角动量及其算符(1))(ˆ)(ˆ),(ˆˆˆˆˆ,)(ˆˆˆ,xyyxilzxxzilyzzyilelelellezeyexrezeyexiipprlprlzyxzzyyxxzyxzyx在直角坐标下，角动量算符角动量10二、角动量的本征值与本征函数（2）角动量及其算符(2)ˆ(sincotcos),ˆ(coscotˆsin)zxyllilii则形式简洁sincossinsincosxryrzr在球坐标下，11)3(/tan)2(/cos)1(cossinsincossin2222xyrzzyxrrzryrxzyxxxxxfxfxrrfxfiiii,,,,321其中zzzrrzyyyrryxxxrrx或cossinsincossinzrsyrxr直角坐标与球坐标的变换关系rxz球坐标ry这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)球坐标sin1sincos1coscos1rzryrx0sincos1sinsin1zryrx将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）则有：将（3）式两边分别对xyz求偏导数得：12将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标中的表达式为：ˆ[sincotcos]ˆ[coscotsin]ˆxyzLiLiLi形式简洁rxz球坐标ry0sin1cossincos1sincos1sinsinsinsin1coscos1cossinrrzrrryrrrx13二、角动量的本征值与本征函数（3）角动量算符对易性ˆˆˆˆˆˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆˆ[,]ˆˆˆˆˆˆˆˆ[,ˆ]ˆxyxyyxzyzyzzyxzxzxxzyyxzllllllilllllllilllllllillll、、之间:ˆˆˆllil22222222211ˆˆˆ(sin)sinsiˆˆˆˆˆˆ[,]0,,ˆˆnlllllllxyzllll，＝总角动量和分量之间:ˆzli14角动量z分量的本征值与本征函数(1),lnˆ/()exp(/),2,(2)(),0,1,2,,(),0,1,2,,zzzzzzimmllililCilClmmCem设本征函数和本征值为和则本征方程为＝其解为其中，为归一化常数。当系统将回到原来的位置，由波函数单值性的要求，应有。为此，要求是量子化的。相应的本征函数为二、角动量的本征值与本征函数（4）15二、角动量的本征值与本征函数（5）角动量z分量的本征值与本征函数(2)2220|()|2||11/21()0,1,2,,2(,)mimmmnmndCCem由归一化条件，有所以，，不难验证16二、角动量的本征值与本征函数（6）2*022002*022()00()()1111222()()1110222(,)nnininmnimininmmnmndeedddeeded归一正交17二、角动量的本征值与本征函数（7）的共同本征态)ˆ,ˆ(2zll,,2,1,0,21)(,ˆˆˆ,0]ˆ,ˆ[ˆsin1sinsinˆˆ222222memllllllllilimmzzzzzz：的本征值和本征函数为已知。可以拥有共同本征函数和球坐标下，18二、角动量的本征值与本征函数（8）mmllmllmlmlmzlmlmlmimmlmlmYYddlllllmYmYlYllYlYePmlmllY),(),(sin,2,1,0,,1,,1,ˆ)1(ˆ)(cos)!()!(412)1(),(0*2022正交归一条件为足称为球谐函数，它们满19二、角动量的本征值与本征函数（9）22221()!(,)(1)(cos)4()!,,1,,1,,0,1,2,ˆˆ(cosˆ1)ˆ)(lmlmzlmlmmimlmllmzmlmllmYPelmYmlllllllllmPLegendYllYlYmYre球谐函数和的本征值都是量子化的。轨道角动量量子数磁量子数连带多项式20一、角动量的本征值与本征函数（10）2222222ˆˆˆˆˆˆ,(1),ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,]0,ˆˆˆ(,1,||),]0,,]0.,,znlmnnlmnlmnlmznnllmnlmzmnlmnlmnlmzzHllHEllllmHllHlHlllHlnmllal氢原子的本征函数(0构成正交归一完备集使得任何体系的一个量子态，总电子波数是、和的共同本征态。、、之间互易称有：则[[[，)z构成中心力场体系的一组力学量完全集。力学量完全集（1）21一、角动量的本征值与本征函数（11）123123(,,,,),,ˆ(,,,,,)NkkkkkNknlmkAAAAaAAAA设有一组彼此对易的厄密算符，它们拥有共同本征函数若构成正交归一完备集，使得任给体系的一个量子态，总有则称构成体系的一组力学量完全中心力场体系：为一组量子数集。的笼统记号力学量完全集（2）22三、核外电子分布几率(1)1、径向位置概率分布222(,,)(,)|(,,)|[()]1nlmnlnlmnlnlrrrrdrWdrrdrdrRrrdrRrnnl在态下，在球壳中找到电子的概率为()的节点数为:23[1，0][2，0][3，0][4，0]0369121518212427303336r/a00.60.50.40.30.20.1Wnl(r)~r的函数关系（l=0)Rnl(r)的节点数nr=n––124[2，1][3，1][4，1]04812162024283236404448r/a0a0Wnl(r)0.240.200.160.120.080.04Wnl(r)~r的函数关系(l=1)[n，l]Rnl(r)的节点数nr=n––125三、核外电子分布几率(2)()1:1,0,02:2,0,13:3,0,24:4,0,32:2,1,03:3,1,13:3,2,04,2,14:1nlrrrrrrrrrRrsnlnsnlnsnlnsnlnpnlnpnlndnlndnlnnln的节点数:26三、核外电子分布几率(3)2,1210(1,2,3)|()|,1,2,3,rnnnnnspdRrrnanrraBohr的态，称为“圆轨道”，它们无节点。的极大值所在的位置为最可几半径半径xyz27三、核外电子分布几率(4)2、概率密度角度分布222222(,)|(,)||()()|1|()|2(,,[(cos)()(,))]lmlnlmnlmllmmllmmmmldYdNdNdpdlmrRrY在方向的立体角中电子的概率为只同量子数和=有关1()exp()2mim28例2.=1,m=±1时，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2。在=π/2时，有最大值。在=0沿极轴方向（z向）W1,±1=0。例1.=1,m=0时，W1,0()={3/4π}cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在=π/2时，等于零。zzyxxyZ29m=-2m=+2m=+1m=-1m=0例3.=2