同济大学高等数学第七版1-5极限的运算法则

第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则一、无穷小运算法则命题两个无穷小的和还是无穷小.直观记忆：0+0=00lim0lim0)(lim说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!定理1：有限个无穷小之和仍为无穷小.同理可证：三个无穷小之和也是无穷小.用数学归纳法可证:直观记忆：M*0=0这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。回忆一些重要的有界函数。定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.4常见的有界函数5注意：也有界记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。6定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.注:无限个无穷小的乘积不一定是无穷小!问:无穷大是否有类似的性质？以下命题成立？（1）两个无穷大之和也是无穷大？（2）两个无穷大的积也是无穷大？（3）无穷大与有界函数的和也是无穷大？（4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？（5）无穷大与无穷小的乘积是什么？说不清楚，有各种可能DP45第4题9定理3二.极限的四则运算法则则若lim()fxC若存在，且为常数,lim()fxn若存在，且为正整数,10推论1.lim[()]lim().CfxCfx则推论2.lim[()][lim()]nnfxfx则lim()lim()()().fxAgxBfxgxAB，，，定理5若且则11limlim(1)lim();(2)lim;(3)00lim.nnnnnnnnnnnnnnxAyBxyABxyABxAyByB，，，若则当且时注意：极限的四则运算法则成立的条件为：参与四则运算的各项的极限都存在！定理4.12极限的计算一些基本极限（已经证明或明显的）例1求21lim(358)xxx.解：21lim(358)xxx2111lim3lim5lim8xxxxx.2113lim5lim8xxxx.213(lim)583586xx.13101(),nnnfxaxaxannxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xf结论：设多项式则有143221lim.35xxxx例1求解)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322,03531lim232xxxx)53(lim1limlim22232xxxxxx.373123例2.结论：0()(),()0,()PxfxQxQx且)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx)()(00xQxP).(0xf0()0,.Qx若则商的法则不能应用设有理分式函数则有解)32(lim21xxx,0商的法则不能用)14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030由无穷小与无穷大的关系,得例3.3214lim21xxxx求.3214lim21xxxx先求其倒数的极限结论：解例4.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21消去零因子法1.x先消去零因子后再求极限)00(型例5例5结论：1.2123lim.54xxxx2.2112lim().11xxx3.22011limxxx42331lim3xxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx练习1.解:24解:x=1时3245lim21xxxx031241512分母=0,分子≠0,但因2123lim.54xxxx练习2.2112lim().11xxx解：)1211(lim21xxx)1)(1(211lim1xxxx)1)(1(1lim1xxxxxx11lim1.21通分练习3.解:原式22011limxxx2220)11(limxxxx)]11([lim20xx.2练习4例6.145523lim)1(233xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x145523lim233xxxxx.53332145523limxxxxx“抓大头”例6.147532lim)2(232xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x147532lim232xxxxx332147532limxxxxxx.0例6.532147lim)3(223xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x532147lim223xxxxx323532147limxxxxxx.30为非负常数)nmba,,0(00nm当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,nm当nm当结论：)(型注:这种极限的结果只取决于分子和分母中的最大项，其他项对结果毫无影响。“抓大头”例7).21(lim222nnnnn求解是无穷小之和．时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.拆项相消例8.sinlim)1(xxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxxxxysin(利用无穷小的性质)2008200931(2)limsin.51xxxxxx求=0三、复合函数的极限运算法则定理6：34解:令.93lim23xxx932xxu则ux3lim61∴原式=uu61lim6166例9.求复合函数求导（变量代换）35.11lim1xxx11lim1xxx1)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2练习.求分母有理化解:36练习)1(lim2xxxx求解:原式=xxxx12lim11112xxlim21内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx时,用代入法(要求分母不为0)0)2xx时,对00型,约去公因子，x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量