同济大学高等数学第七版1-6极限存在准则与两个重要极限

第六节极限存在准则与两个重要极限一极限存在的两个准则二两个重要极限准则I.数列的夹逼准则一极限存在准则如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件)3,2,1()1(nzxynnnaxnnlim则,lim,lim)2(azaynnnn},,max{21NNN取上两式同时成立,恒有时当,Nnnya,成立即axn.limaxnn证0,limaznn使得,01Naynnlim时有当1Nn,ayn,ayan即使得,02N时有当2Nn,azn,azan即,aznnx00(,)xUxMx如果当)时有(或准则I.函数的夹逼准则),()()()1(xhxfxg,)(lim,)(lim)2()()(00AxhAxgxxxxxxAxfxxx)(lim)(0则准则和准则称为夹逼准则.I'I利用夹逼准则，我们可以求一些困难的极限。方法是：使得)(|)(|xgxf,)(lim)(limAxhxg将适当缩小为，再适当放大为，)(xg)(xf)(xh（极限要容易求得）Axf)(lim则0)(limxg0)(limxf常见形式：例1).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼准则得.1)12111(lim222nnnnn证明)0(2212xxxx)0(222xxxx2)2(lim0xx=2lim0x∴由夹逼准则，得.22lim0xxx练习2.2lim0xxx证明?2lim0xxx收敛数列一定有界数列，但有界数列不一定收敛。有界的单调数列一定收敛.单调有界数列必有极限.准则Ⅱ(单调有界准则)=最小上界值单调有界数列必有极限.准则Ⅱ(单调有界准则)=最小上界值单调有界数列必有极限.准则Ⅱ(单调有界准则)=最小下界值例2证明数列的极限存在解:1n当时221x2kx,设，则22221kkxx112222xxkkxx111222kkkkxxxxnnnnxx2limlim1AA22A又设，则nx∴｛｝单增有上界，从而必有极限。Axnnlim设02A，则由得∴222nx并求此极限；1、1sinlim0xxx二、两个重要极限圆扇形AOB的面积证xsin21xtan21是偶函数，xxsin故只需证△AOB的面积＜＜△AOC的面积(利用准则Ⅰ)因为AC121h121CxoDBA)20(tansinxxxx)20(x取倒数得去乘不等式得用xsin1,1sincosxxx,1coslim0xx,11lim0x10xxxsinlimxxxcos1sin11sinlim0xxx该极限的特点:;00)1(型未定式.sin)2(形式一致与分数线另一侧的变量1sinlim0xxx一般有)(x)(x0)(xsinlim.1第一个重要极限1sinlimxxx.)00(型未定式非0正确xxxsinlim20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx1sinlim0xxx1)()(sinlimxx((x)0)例3例1求xxxtanlim0解xxxtanlim0xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00xxxxx解解xxxtanlim0xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00xxxxx解xxxtanlim0xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00xxxxx解xxxtanlim0xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00xxxxx解例4例2求20cos1limxxx2112122sinlim21220xxx2112122sinlim21220xxx20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx例5.1arcsinlim0xxx求解,arcsinxy设xxxarcsinlim0,0,0yx时当,sinyx则1sinlim0yyy思考:2limsin?nnn2limsinnnn1.公式计算2.2sini2lmnnn观察：数列是单调增加并且有界．e是个无理数，它的值是e=2.718281828459045……．根据准则II，数列{xn}必有极限．可以证明数列{xn}是单调增加并且有界．这个极限我们用e来表示．nn11设xn，ennn)11(lim第二个重要极限exxx)11(limxxx10)1(lim例e)1(lim10xxxexxx)11(lim24“以1加非零无穷小为底,该极限的特点:;1型这个重要极限应灵活的记为:一般有e]11[lim倒数,指数是无穷小的其极限为数e”.)(x)(x)(xe]1[lim)(x0)(x)(1xe)1(lim10xxxexxx)11(lim例6.)11(limxxx求解xxx)11(1lim1])11[(limxxx原式e11e例7exxx)11(lim1)11(limexxx2)21(limexxx?)1(limxxxk问：一般有一下重要公式：kxxexk)1(limkllxxexk)1(limkxxekx10)1(limklxlxekx)1(lim0例8xxxx21limxlim2eexx11xx21.e3)1(解：xxxx21limxxbxaxlimbaeebaennn211lim.e2练习12nnn11lim)1(nnn211lim解:xxx321limxx321lim.e32x2332)1(xxx321lim练习2解:xxx20)sin1(lim.e2xxxsin10sin1limxxsin2)1(xxx20)sin1(lim练习3解:练习4：.)23(lim2xxxx求解：xxxx21213lim原式.2exxxxx22)12()13(lim46ee33单调有界准则.小结1.极限存在准则e]1[lim)(x0)(x)(1x夹逼准则;2.两个重要极限)(x0)(xsinlim.1)(x