同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较

1无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限第七节无穷小的比较2一、无穷小的比较3无穷小+无穷小=无穷小无穷小-无穷小=无穷小无穷小×无穷小=无穷小但：=？无穷小无穷小xxx20limxxxsinlim020limxxx,0,1如,,0时当x是无穷小.,x,2xxsin如何比较两个无穷小？？4x2x0.010.00010.10.01……0.0010.000001xxx20lim;002要快得多比xx,0例考察时，趋于零的快慢0xx2xxxxsinlim0;00sin快慢相仿与xx,1定义,lim)2(如果,0lim)1(如果是比就说);(o记作是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;低阶的无穷小;,设.0且是比就说无穷小的比较),0(lim)3(CC如果是与就说同阶无穷小;6定义是与则称.~记作是同一过程中的两个无穷小,等价无穷小,,设.0且无穷小的比较Cklim)4(如果的是关于就说),0,0(kCk阶无穷小.,1lim)5(如果7所以当x0时，3x2是比x高阶的无穷小，即3x2o(x)(x0)．因为03lim20xxx，例比较无穷小：)(112nnn，因为211limnnn，所以当n时，n1是比21n低阶的无穷小．因为211limnnn，所以当n时，n1是比21n低阶的无穷小．所以当x0时，1-cosx与x2的同阶无穷小。因为21cos1lim20-xxx，当x0时，1-cosx是x的二阶无穷小。91011112)1)(1(1lim211----tttttnnntnn111314二、利用等价无穷小替换求极限定理1~).(o－即两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小，反之亦然。原因？他们太接近了，所以它们的差远远小于它们之中的任何一个。定理1~).(o15定理1证,~-lim-1limlim,0).(o即),(olim.~)(limo)(1limo,1因此设则1-因此-),(o设则~).(o16例xsin-xcos1,0时当x,~sinxx,~tanxx,21~cos12xx-所以时有当0xxtan所以时有当0x所以时有当0x),(xox),(xox).(2122xox所以时有当0x,~arcsinxxxarcsin),(xox17定理2,~设证limlim(lim).(lim或A),(lim或且Alim则)limlim~).(lim或A(等价无穷小替换定理)定理2,~设),(lim或且Alim则~).(lim或A(等价无穷小替换定理)limlim替换意义？？复杂简单19将常用的等阶无穷小列举如下:xx~sinxx~tan2~cos12xx-xx~)1ln(mxxm~11-2~11xx-nxxn~1)1(-xex~1-axaxln~1-2~sintan3xxx-xx~arcsinxx~arctan当x0时,,,0.mnNa其中20例2.5sin2tanlim0xxx求解,0时当x原式,2~2tanxx,5~5sinxxxxx52lim0.5221.1cos1)1(lim3120--xxx解:例3求223221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx练习解23例4xxxx2sinsintanlim30-求解原式.0解,0时当x-xxsintan,21~3x,2~2sinxx原式.161错,0时当x,~tanxx,~sinxx30)2(limxxxx-)cos1(tanxx-330)2(21limxxx注：加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换.24例5.)cos1(2sinlim20xxarcx-求解)cos1(2sinlim20xxarcx-)cos1(2lim20~sinarcxxxxx-)cos)(1cos1(2lim0xxxx-xxxxxcos11lim)cos1(2lim00-)cos1lim(1lim020x~cos1221xxxxxx-25xxxxtansin21lnlim0xxx21lim0xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0xxxtansin2lim0xxx2lim0212例6解26000coslim11coslimlimxxxxxexxexxx---0coslimxxexx-求1例7解27练习.cos12tanlim20xxx-求解,0时当x原式.8,21~cos12xx-.2~2tanxx22021)2(limxxx281.无穷小的比较2.等价无穷小的替换求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;同阶(等价)无穷小;无穷小的阶.小结反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度但并不是所有的无穷小都可进行比较.快慢,