同济大学高等数学第六版上第一章第十节 闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。一、最大值和最小值定理定义:.)()()())()(()()(,),(0000值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI例如,,sin1xy,]2,0[上在,2maxy;0miny,sgnxy,),(上在,1maxy;1miny,),0(上在.1minmaxyy定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.).()(),()(],,[],,[,],,[)(2121xffxffbaxbabaCxf有使得则若xyo)(xfyab21注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.xyo2)(xfyxyo)(xfy211定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证,],[)(上连续在设函数baxf],,[bax,)(Mxfm有},,max{MmK取.)(Kxf则有.],[)(上有界在函数baxf二、介值定理定义:.)(,0)(000的零点称为函数则使如果xfxxfx定理3(零点定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异号(即0)()(bfaf),那末在开区间ba,内至少有函数)(xf的一个零点,即至少有一点)(ba，使0)(f..),(0)(内至少存在一个实根在即方程baxf几何解释:.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧xxxfyxyo)(xfyab123定理4(介值定理)设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf)(及Bbf)(,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间ba,内至少有一点，使得Cf)()(ba.证,)()(Cxfx设,],[)(上连续在则baxCafa)()(且,CACbfb)()(,CB,0)()(ba由零点定理,使),,(ba,0)(,0)()(Cf即.)(Cfxyo)(xfyabABMm1x2xC123几何解释:.)(至少有一个交点直线与水平连续曲线弧Cyxfy例1.)1,0(01423至少有一根内在区间证明方程xx证,14)(23xxxf令,]1,0[)(上连续在则xf,01)0(f又,02)1(f由零点定理,使),,(ba,0)(f,01423即推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.Mm.)1,0(01423内至少有一根在方程xx例2.)(),,(.)(,)(,],[)(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数证,)()(xxfxF令,],[)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0bbfbF)()(,0由零点定理,使),,(ba,0)()(fF.)(f即例3)()(),0[)2()0(]2,0[)(affaaffaxf使证明上连续，且在设证则记)()()(axfxfxF))(],0([],0[)(的定义域即上连续在xFaaxF)()0()0(affF且)0()()2()()(fafafafaF)()0(aff若即为所求则0)()0(aff若0)()0(aFF则由零点定理知0)(),0(Fa使)()(aff即总之)()(),0[affa使注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;思考题下述命题是否正确？如果)(xf在],[ba上有定义，在),(ba内连续，且0)()(bfaf，那么)(xf在),(ba内必有零点.思考题解答不正确.例函数0,210,)(xxexf)(xf在)1,0(内连续,.02)1()0(ef但)(xf在)1,0(内无零点.