电工电子技术及应用 第二章 正弦交流电路

第二章正弦交流电路第一节正弦量第二节正弦量的相量第三节电路元件的电压电流关系第四节RLC串联电路第五节复阻抗的串联与并联第六节正弦交流电路的功率第七节电路中的谐振第一节正弦量实际工程技术中所遇到的电流、电压，在许多情况下，其大小和方向都是随时间变化的，这类电量统称为交流量。在交流量中，有许多是按照一定的时间间隔循环变化的，这样的交流量称为周期性交流量。随时间按正弦规律变化的周期量称为正弦交流量，简称正弦量。图2-1所示的电流波形为正弦波，其瞬时值表达式为下一页)sin(imtIi第一节正弦量一、周期、频率、角频率正弦量每变化完整一次所需的时间称为周期，用字母T表示，单位是秒(s)。正弦量在每秒内变化的次数称为频率，用字母f表示，单位是赫兹(Hz)。周期和频率互为倒数，即正弦量表达式中的ω角频率，即正弦量每秒钟变化的电角度，单位是弧度/秒(rad/s)。因为正弦量一周期经历了2π弧度，所以角频率为下一页上一页fT1Tf22第一节正弦量二、振幅和有效值正弦量任一瞬间的值称为瞬时值，瞬时值中最大的值称为振幅，或称为最大值。以交流电流为例，其有效值定义是:一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。对于正弦量，最大值是有效值的倍下一页上一页2第一节正弦量三、相位与初相位通常，正弦量是连续变化的，一般没有确定的起点和终点，但为了便于说明问题，选择一个计算时间的起点非常必要。若规定正弦量由负变正的零点为变化起点，t=0的时刻为时间起点，则任意瞬间的电角度称为正弦量的相位角，简称相位。t=0的相位角Ψ叫做初相位或初相角。下一页上一页t第一节正弦量四、相位差设有两个同频率的正弦量它们之间的相位之差称为相位差，用Φ表示可见，两个同频率正弦量的相位差，实质上等于它们的初相之差，它是一个与时间无关、与计时起点也无关的常数。上一页)sin()sin(imumtIitUuiuiutt)()(返回第二节正弦量的相量一、复数的三种形式1.代数形式式中:a为复数A的实部，b为复数A的虚部，j=为虚数单位，数学中用i表示，电工技术中因为都用i表示电流，所以改用j代表。每一个复数A=a+jb，在复平面上都有一个点A(a,b)和它对应，如图2-4所示下一页jbaA1第二节正弦量的相量一、复数的三种形式2.指数形式3.三角形式下一页上一页jeAAsincosAjAA第二节正弦量的相量二、复数的运算1.复数的加减进行复数相加(或相减)，要先把复数化为代数形式。设有两个复数则它们的相加、减运算为复数的加、减运算也可在复平面上用平行四边形法则作图完成，见图2-5所示下一页上一页2211jbaBjbaA)()()()(21212211bbjaajbajbaBA第二节正弦量的相量二、复数的运算2.复数的乘除复数的指数形式和极坐标形式便于进行乘、除运算。设两个复数为则它们的乘、除运算为复数相乘、除的儿何意义分别如图2-6(a)、(b)所示下一页上一页21,1BBAeAAj21)(21)(212121BAeBAeBeABABAeBABAjjjj第二节正弦量的相量三、正弦量的相量设有一正弦电流为设另有一复数为对比以上两式可以得出，正弦电流i就是复数的虚部。因为式中:是一复常量，它的模就是正弦电流i的有效值I,幅角就是正弦电流i的初相Ψi，将这个复常量用字母表示，即下一页上一页)sin(2itIi)sin(2)cos(22)(iitjtIjtIIei)(2itjIetjjjtjtjeIeeIeIeiii)(ijIeijIeI第二节正弦量的相量三、正弦量的相量一个正弦量就可以用一个复数来表示。表示的方法是:复数的模对应正弦量的有效值;复数的幅角对应正弦量的初相角。以后把这个能表示正弦量特征的复数称为“相量”，并用上面带小点的大写字母表示，如表示电流相量，表示电压相量上一页IU返回第三节电路元件的电压电流关系一、电容元件假定在任一瞬时，电容元件通过的电流ic与电容元件两端的电压uc在关联参考方向下，见图2-10。在正弦交流电路中，电容元件电压和电流是同频率的正弦量，电压滞后电流π/2，其有限值的关系为电容元件电压与电流的波形图如图2-11所示，在图2-12中，电容的电压、电流相量分别为电容中的电流超前电容元件两端的电压π/2,其相量图如图2-13所示.下一页CCCUICCCiCCIjXUII)(第三节电路元件的电压电流关系二、电阻元件在正弦交流电路中，假定在任一瞬时电压UR和电流IR在关联参考方向下，见图2-14根据欧姆定律由上式可知，电阻元件上uR、iR正弦量频率相同，相位相同，它们的最大值或有效值之间的关系符合欧姆定律，即表示电阻元件电压与电流的波形图如图2-15所示下一页上一页)sin(2)sin(2uRiRRRtUtRIRiuRRRmRmRIURIU或第三节电路元件的电压电流关系二、电阻元件下面用相量来分析，见图2-16,电阻的电流、电压相量形式分别为由电阻元件伏安关系的形式，可得电阻元件的相量模型，如图2-16所示。图2-17则为电阻元件的电压、电流相量图。下一页上一页RRiRRIRUII第三节电路元件的电压电流关系三、电感元件假定在任一瞬时，电压uL和电流iL在关联参考方向下，见图2-18在正弦交流电路中，电感元件的电压和电流是同频率的正弦量，其有效值或最大值之间的关系为或电压超前于电流π/2电压与电流的波形图如图2-19所示下一页上一页fLLIUXLLL2LLLLIXLIULmLLmIXLILmU第三节电路元件的电压电流关系三、电感元件在图2-20中电感电压、电流相量分别为电感两端的电压超前电感元件中通过的电流π/2，图2-21为电感元件的相量图。上一页LLLLiLLIjXILjUII返回第四节RLC串联电路图2-22(a)为RLC串联电路的电路图，各正弦量的参考方向如图所示RLC串联电路的相量模型如图2-22(b)所示Z为电路的复阻抗，其图形符号如图2-23所示上式被称为欧姆定律的相量形式将复阻抗用极坐标形式表示为其中|Z|是复阻抗的模，φ为复阻抗的幅角。同时可得，复阻抗的模|Z|、实部R及虚部X构成一个直角三角形，如图2-24(a)所示，称为阻抗三角形。下一页IZUZZ第四节RLC串联电路上式表明，复阻抗的模|Z|是其端电压与电流有效值之比，称为电路的阻抗。复阻抗的幅角是电压超前电流的相位角，称为电路的阻抗角。所以复阻抗Z综合反映厂电压与电流之间的数值及相位关系。在RLC串联电路中，选择电流为参考正弦量，则与同相，比超前π/2,比滞后π/2,可画出电路的相量图如图2-25所示。上一页iuiuIUIUIUZIUUUIII返回第五节复阻抗的串联与并联一、复阻抗的串联n个复阻抗串联，如图2-26(a)所示，其等效复阻抗Zea等于n个串联的复阻抗之和，即各个复阻抗的电压分配与复阻抗成正比，即等效电路如图2-26(b)所示下一页neaZZZZ...21),...,2,1(nkUZZUeakk第五节复阻抗的串联与并联二、复阻抗的并联n个复阻抗并联，如图2-27(a)所示，其等效复阻抗Zea的倒数等于n个并联的复阻抗倒数之和，即各个复阻抗的电流分配与复阻抗成反比，即等效电路如图2-27(b)所示下一页上一页neaZZZZ1...11121),...,2,1(nkIZZIkeak第五节复阻抗的串联与并联二、复阻抗的并联在两个复阻抗并联的情况下，电路如图2-28所示，其等效复阻抗为对于一个不含独立电源由R、L、C构成的二端网络N，如图2-29所示，其等效复阻抗Zea可以通过端口电压和端口电流求得，即上一页2121ZZZZZeaIUZeaIU返回第六节正弦交流电路的功率一、有功功率P图2-30所示网络中电压u和电流i是同频率的正弦量，选取关联参考方向有功功率也称为平均功率P，即cosφ称为电路的功率因数下一页cosUIP第六节正弦交流电路的功率二、无功功率Q由于电路中存在的电感、电容元件实际不消耗能量，而只有电源与电感、电容元件间的能量互换，我们把这种能量交换的最大速率，定义为无功功率，用Q来表示，即下一页上一页sinUIQ第六节正弦交流电路的功率三、视在功率S通常将电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用大写字母5表示，即为了与有功功率和无功功率相区别，视在功率的单位用(V.A)或千伏安(kV.A)表示。根据上面对有功功率P、无功功率Q和视在功率S的分析，得到下式图2-31称为功率三角形。可见功率三角形与电压三角形、阻抗三角形都是相似三角形。上一页2IZUIS222QPS返回第七节电路中的谐振一、串联电路的谐振图2-33(a)所示的RLC串联电路复阻抗为当虚部为零，电路发生谐振，得到串联谐振条件为谐振角频率谐振频率谐振频率只与电路的L,C参数有关，与R无关，见图2-33(b)下一页CLjRZ1CL1LCfLC21100第七节电路中的谐振二、并联电路的谐振在图2-34中，用电阻R和电感L的串联来表示实际线圈，线圈与电容器C组成并联谐振电路。线圈和电容的复阻抗分别为电路的复阻抗下一页上一页LjRZ1CjZ12CjLjRCjLjRZ11)(第七节电路中的谐振二、并联电路的谐振谐振时复阻抗的虑部为零，得到并联谐振条件为谐振角频率谐振频率上一页CL1LCf210LC10返回图2-1正弦电流波形返回图2-4复数的矢量表示返回图2-5平行四边形法则返回图2-6复数相乘、除的几何竟义返回图2-10交流电路中的电容元件返回图2-11电容元件电压、电流的波形图返回图2-12电容元件的相量模型返回图2-13电容元件的相量返回图2-14交流电路中的电阻元件返回图2-15电阻元件电压、电流的波形图返回图2-16电阻元件的相量模型返回图2-17电阻元件的相量图返回图2-18交流电路中的电感元件返回图2-19电感兀件电压、电流的波形图返回图2-20电感元件的相量模型返回图2-21电感元件的相量图返回图2-22RLC串联电路图及相量模型返回图2-23复阻抗的图形符号返回图2-24阻抗三角形和电压三角形返回图2-25RLC串联电路的相量图返回图2-26复阻抗的串联及其等效电路返回图2-27复阻抗的并联及其等效电路返回图2-28两个复阻抗的并联返回图2-29二端网络返回图2-30无源二端网络返回图2-31功率三角形返回图2-33串联谐振电路及其频率特性返回图2-34并联谐振电路图返回