电工电子技术第4章 正弦交流电路

第4章正弦交流电路4.1正弦量的基本概念4.2正弦量的有效值4.3正弦量的相量表示法4.4正弦电路中的电阻元件4.5正弦电路中的电感元件4.6正弦电路中的电容元件4.7基尔霍夫定律的相量形式4.8复阻抗、复导纳及其等效变换4.9RLC串联电路4.10RLC并联电路4.11正弦交流电路的相量分析法4.12正弦交流电路的功率4.13功率因数的提高4.14谐振第4章正弦交流电路第4章正弦交流电路第4章正弦交流电路4.1正弦量的基本概念4.1.1正弦交流电的三要素1.正弦量瞬时值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。用大写字母带下标“m”表示,如Um、Im等。2.角频率ω角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数,即ta(4.1)第4章正弦交流电路u0UmtT2()T图4.1交流电的波形fT22(4.2)第4章正弦交流电路3.初相)sin(tEem上式中的(ωt+θ)是反映正弦量变化进程的电角度,可根据(ωt+θ)确定任一时刻交流电的瞬时值,把这个电角度称为正弦量的“相位”或“相位角”,把t=0时刻正弦量的相位叫做“初相”,用字母“θ”表示。规定|θ|不超过π弧度。第4章正弦交流电路XSNAtt＋Em(a)(b)t0e图4.2初相不为零的正弦波形第4章正弦交流电路0tii1＝Imsint(a)tii2＝Imsin(t＋)(b)22tii3＝Imsin(t＋)(c)66tii4＝Imsin(t－)(d)66000图4.3几种不同计时起点的正弦电流波形)sin()sin()sin(imumemtIitUutEe(4.5)(4.6)(4.7)第4章正弦交流电路例4.2在选定的参考方向下,已知两正弦量的解析式为u=200sin(1000t+200°)V,i=-5sin(314t+30°)A,试求两个正弦量的三要素。解(1)u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V所以电压的振幅值Um=200V,角频率ω=1000rad/s,初相θu=-160°。(2)i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t-150°)A所以电流的振幅值Im=5A,角频率ω=314rad/s,初相θi=-150°。第4章正弦交流电路例4.3已知选定参考方向下正弦量的波形图如图4.4所示,试写出正弦量的解析式。VtuVtu)6sin(250)3sin(20021解036200250u/Vtu1u22图4.4例4.3图第4章正弦交流电路4.1.2相位差两个同频率正弦量的相位之差,称为相位差,用字母“φ”表示。212112222111)()()sin()sin(tttUutUumm（4.8）相位差第4章正弦交流电路下面分别加以讨论：(1)φ12=θ1-θ20且|φ12|≤π弧度(2)φ12=θ1-θ20且|φ12|≤π弧度(3)φ12=θ1-θ2=0,称这两个正弦量同相(4)φ12=θ1-θ2=π,称这两个正弦量反相(5)φ12=θ1-θ2=,称这两个正弦量正交20tu(a)0tu(b)0t(c)0tu(d)u1u2u1u2uu1u2u2u1图4.5同频率正弦量的几种相位关系第4章正弦交流电路例4.4已知求u和i的初相及两者间的相位关系。AtiVtu)45sin(210,)235sin(2220VtVtu)125sin(2220)235sin(2220解所以电压u的初相角为-125°,电流i的初相角为45°。017045125iuui表明电压u滞后于电流i170°第4章正弦交流电路例4.5分别写出图4.6中各电流i1、i2的相位差,并说明i1与i20i2322(a)ti1i20i2322(b)ti1i2＝i2322ti1i2(c)i232i1i2(d)2t34图4.6例4.5图第4章正弦交流电路解(a)由图知θ1=0,θ2=90°,φ12=θ1-θ2=-90°,表明i1滞后于i290°。(b)由图知θ1=θ2,φ12=θ1-θ2=0,表明二者同相。(c)由图知θ1-θ2=π,表明二者反相。(d)由图知θ1=0,,表明i1越前于43,4321122432i第4章正弦交流电路例4.6已知试分析二者的相位关系。解u1的初相为θ1=120°,u2的初相为θ2=-90°,u1和u2的相位差为φ12=θ1-θ2=120°-(-90°)=210°考虑到正弦量的一个周期为360°,故可以将φ12=210°表示为φ12=-150°0,表明u1滞后于u2150°。,)90sin(2220,)120sin(222021VtuVtu第4章正弦交流电路4.24.2.1有效值的定义交流电的有效值。交流电的有效值是根据它的热效应确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等,则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值,用大写字母表示,如I、U等。第4章正弦交流电路TTTTdtuTUdtiTIdtRiRTIdtRiQRTIQ020202202211第4章正弦交流电路4.2.2正弦量的有效值)0(2)2cos(222cos1sin1200202022TTItdtdtTIdttTItdtITImTTmTmTmVUUUUIIImmmmm3112220707.02707.02第4章正弦交流电路例4.7电容器的耐压值为250V,问能否用在220V的单解因为220V的单相交流电源为正弦电压,其振幅值为311V,大于其耐压值250V,电容可能被击穿,所以不能接在220V的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水平（耐压值）,要按最大值考虑。例4.8一正弦电压的初相为60°,有效值为100V,试求它的解析式。因为U=100V,所以其最大值为则电压的解析式为V2100Vtu)60sin(2100第4章正弦交流电路4.3正弦量的相量表示法4.3.1复数及四则运算1.复数在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部,b为虚部,称为虚单位。在电工技术中,为区别于电流的符号,虚单位常用j表示。1i34O＋j＋1A图4.7复数在复平面上的表示第4章正弦交流电路baO＋j＋1Pr图4.8复数的矢量表示)2(arctan22abbaArsincosrbra第4章正弦交流电路2.(1)复数的代数形式jbaA(2)复数的三角形式sincosjrrA(3)复数的指数形式jreA(4)复数的极坐标形式rA第4章正弦交流电路例4.9写出复数A1=4-j3,A2=-3+j4的极坐标形式。解A1的模辐角则A1的极坐标形式为A1=5-36.9°5)3(4221r9.3643arctan1（在第四象限）54)3(222r辐角9.12634arctan2(在第二象限)则A2的极坐标形式为9.126/52AA2的模第4章正弦交流电路例4.10写出复数A=100/30°的三角形式和代数形式。解三角形式A=100（cos30°+jsin30°代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j503.复数的四则运算(1)复数的加减法)()(2121212222211111bbjaaAArjbaArjbaA则（4.16）第4章正弦交流电路O＋j＋1A2A1A1＋A2A1－A2图4.9复数相加减矢量图(2)复数的乘除法2121221121212211rrrrBArrrrBA第4章正弦交流电路例4.11求复数A=8+j6,B=6-j8之和A+B及积A·B解A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2A·B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9°·10/-53.1°=100/-16.2°第4章正弦交流电路4.3.2正弦量的相量表示法O′＋j＋1t＋jBOAt1bt1aUm图4.10正弦量的复数表示UUtjUtUeUeeUmmtjmtjjm)sin()cos()(第4章正弦交流电路例4.12已知同频率的正弦量的解析式分别为i=10sin(ωt+30°),,写出电流和电压的相量,并绘出相量图。解由解析式可得)45sin(2220tuUI、VUAI4522220302530210相量图如图4.11所示。第4章正弦交流电路30°O＋j＋145°·U·I图4.11例4.12图第4章正弦交流电路例4.13已知工频条件下,两正弦量的相量分别为试求两正弦电压的解析式。VUVU30220,6021021解由于VttUuVttUuVUVUsradf)30100sin(40)sin(2)60100sin(10)sin(230,22060,10/10050222221112211所以第4章正弦交流电路4.4正弦电路中的电阻元件4.4.1电阻元件上电压与电流的关系iRuRR图4.13纯电阻电路第4章正弦交流电路1)电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系2)若RuiRRRIURUItItRURuitUuRmRmRmRmRmRmRRRmR或)sin()sin()sin(其中则RUIRR第4章正弦交流电路3)0tuR(a)uRiR·IRUR·(b)iR图4.14电阻元件上电流与电压之间的关系第4章正弦交流电路4.4.2电阻元件上电压与电流的相量关系RIURIUUtUuIItIiRRRRRRmRRRRmR)sin()sin(第4章正弦交流电路4.4.3电阻元件的功率交流电路中,任一瞬间,元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率,用小写字母p表示,即)2cos1()2cos1(2sinsinsin2tIUtIUtIUtItUiupuipRRRmRmRmRmRmRmRRR第4章正弦交流电路工程上都是计算瞬时功率的平均值,即平均功率,用大写字母P表示。周期性交流电路中的平均功率就是其瞬时功率在一个周期内的平均值,即WkWRURIIUPIUTTIUdttdtTIUdttIUTpdtTPRRRRRRRRTTRRRTTR1001)0()2cos1()2cos1(11220000功率的单位为瓦(W）,工程上也常用千瓦（kW）,即第4章正弦交流电路例4.14一电阻R=100Ω,R两端的电压,(1)通过电阻R的电流IR和iR(2)电阻R接受的功率PR(3)作的相量图。解(1)因为RRIU、AIAttRuiRRR122)30sin(2100)30sin(2100所以WRPWIUPRRRR10010011001100222或或(3)相量图如图4.16所示。第4章正弦交流电路例4.15一只额定电压为220V,功率为100W的电烙铁,误接在380V的交流电源上,问此时它接受的功率为多少？是否安全？若接到110V的交流电源上,解由电烙铁的额定值可得WWRUPWWPUPPURRRR1002548411010029848438048410022022222122当电源电压为380V时,电烙铁的功率为此时不安全,电烙铁将被烧坏。当接到110V的交流电源上,此时电烙铁的功率