学案3 平面向量的数量积

学案3平面向量的数量积平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,则叫做a与b的数量积(或内积),记作.规定:零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是,两个非零向量a与b平行的充要条件是.|a||b|·cosa,ba·b=|a||b|·cosa,b0a·b=0a·b=±|a||b|2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=;(2)非零向量a,b,a⊥b;(3)当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=,a·a=,|a|=;|b|cosa,b|a|cosa,ea·b=0|a||b|-|a||b|a2a·a⇔(4)cosθ=;(5)|a·b||a||b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b=(交换律);(2)(λa)·b==(λ为实数);(3)(a+b)·c=.≤|b||a|b•ab·aλa·ba·λba·c+b·c5.平面向量数量积有关性质的坐标表示(1)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=,由此得到:若a=(x,y),则|a|2=或|a|=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=|AB|=.(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b.x1x2+y1y2=0⇔x1x2+y1y2x2+y2y+x22221221)y-(y+)x-(x已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a-b|=.【分析】求|a-b|可先求|a-b|2.考点1数量积的计算【解析】|a-b|=360cos21221ba2ba)ba(22222【评析】求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为θ,θ∈［0°,180°］,再分别求|a|,|b|,然后再求数量积即a·b=|a||b|cosθ,若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈〔-,〕.(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.23232x2x3π4π【解析】(1)a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b=(cosx+cos,sinx–sin),∵x∈[],∴cosx0,∴|a+b|=2︱cosx︱.23232x2x232x232x|,cosx|2=2cos2x+2=)2xsin-x23(sin+)2xcos+x23(cos=b+a2,3-π4π(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[],∴≤cosx≤1,∴当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.2123,3-π4π212123设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是.【分析】由垂直的充要条件,寻找|a|,|b|,|c|之间的关系.考点2利用向量解决垂直问题【解析】∵a⊥b,b=-a-c,∴a·b=a·(-a-c)=-|a|2-a·c=0,∴a·c=-|a|2=-1.又∵(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,∴a·c=b·c=-1.∵a=-b-c,∴|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,∴|b|2+|c|2=|a|2-2b·c=3,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.【评析】垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥ba1a2+b1b2=0,a∥ba1b2-a2b1=0.⇔⇔已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0αβπ).(1)求证:a+b与a-b互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α(其中k为非零实数).(1)证明:(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),|ka+b|=,|a-kb|=.∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).又k≠0,∴cos(β-α)=0.而0αβπ,∴β-α=.1+α)-2kcos(β+k22k+α)-2kcos(β-12π已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.【分析】(1)由(a-b)和(a+b)的数量积可得出|a|,|b|的关系.(2)计算a-b和a+b的模.考点3利用向量解决夹角问题2121【解析】(1)∵(a-b)·(a+b)=,∴|a|2-|b|2=,又∵|a|=1,∴|b|=.设a与b的夹角为θ,则cosθ=,又∵θ∈［0,π］,∴θ=.21212221a22222121baba4(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×+=,∴|a-b|=.(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,∴|a+b|=，设a-b与a+b的夹角为α,则cosα=.552102221baba)ba)(ba(22212102121212125【评析】公式cosθ=可求a,b的夹角及夹角取值的范围，应用时，要注意y=cosx在x∈［0,π］上的单调性.222221212121y+x•y+xyy+xx=|b||a|a·b已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角的λ的取值范围.由|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,得a·b=|a||b|cos45°=×1×=1,∴(2a+λb)·(λa-3b)=2λa2-6a·b+λ2a·b-3λb2=λ2+λ-6.设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ,则且cosθ≠1,222220,|3b-a||b+2a|3b)-ab)·(+(2a=cosλλλλθ由(2a+λb)·(λa-3b)0得λ2+λ-60,∴λ2或λ-3.假设cosθ=1,则2a+λb=k(λa-3b)(k0),2=kλλ=-3k,故使向量2a+λb和λa-3b夹角为0的λ不存在.∴当λ2或λ-3时,向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角.解得k2=-.∴32{1.公式a·b=|a|·|b|cosθ,a·b=x1x2+y1y2,|a|2=a2=x2+y2的关系非常密切，必须能够灵活、综合运用.2.a∥bx1y2-x2y1=0与a⊥bx1x2+y1y2=0要区分清楚.3.要特别注意：向量的数量积运算不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c)，但满足交换律和分配律：a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c.1.数量积a·b中间的符号“·”不能省略，也不能用“×”来替代.2.要熟练类似(λa+μb)·(sa+tb)=λsa2+(λt+μs)a·b+μtb2的运算律(λ,μ,s,t∈R).3.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.4.零向量:(1)0与实数0的区别,不可写错:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.5.向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,AB,BC应为120°,而不是60°.名师伴你行