学案4 空间的平行关系

学案4空间中的平行关系空间中的平行关系1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.2.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理并加以证明.空间线线平行、线面平行、面面平行的判断证明除在客观试题中以命题真假判断形式出现外，多数在解答题中考查，难度不大，一般利用判定定理或性质定理即可证明.1.直线与平面平行的判定和性质(1)判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.可以用符号表示为.(2)性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.可以用符号表示为.aα,bα，且a∥ba∥αa∥α,aβ,α∩β=ba∥b⇒⇒2.平面与平面平行的判定和性质（1）判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.可以用符号表示为.aα,bα,a∩b=P,a∥β,b∥βα∥β⇒（2）性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.可以用符号表示.a∥β,γ∩a=a,γ∩β=bα∥β考点1平行的基本问题【分析】根据平行的判定方法判断五个命题是否正确.【解析】①④正确，②错在a,b可能相交或异面.③错在α与β可能相交.⑤错在a可能在α内.故应选C.【评析】本考点主要在客观试题中考查线面平行、面面平行的判定与性质的应用，作为客观试题判断每一个命题时，一是要注意判定与性质定理中易忽视的条件，如线面平行，需条件线在面外；二是结合题意作出图形；三会举反例或反证法推断命题是否正确.α，β，γ是三个平面,a,b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ,bβ;②a∥γ,b∥β;③b∥β,aγ.如果命题“α∩β=a,bγ,且，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()A.①或②B.②或③C.①或③D.只有②【解析】①中，a∥γ,aβ,bβ,β∩γ=ba∥b（线面平行的性质）.③中，b∥β,bγ,aγ,β∩γ=aa∥b（线面平行的性质）.故应选C.考点2直线与平面平行的判定如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.【分析】用线面平行的判定定理来证,或用面面平行的性质定理来证.【证明】证法一：分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN.又B1E=C1F，∴EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形,∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中，∴EF∥平面ABCD.证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，则,∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴,∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG=G，AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.BBGBABEB1111=BBGBBCFC1111=【评析】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（aα,bα,a∥ba∥α）;③利用面面平行的性质定理（α∥β,aαa∥β）;④利用面面平行的性质（α∥β,a/α,a/β,a∥αa∥β）.如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BE∥CF,∠BCF=90°,求证：AE∥平面DCF.【证明】过点E作EG⊥CF交CF于G，连结DG,可得四边形BCGE为矩形.又ABCD为矩形，所以ADEG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG.因为AEDCF,DGDCF,所以AE∥平面DCF.求证:若两个相交平面都平行于一条直线,则它们的交线也平行于这条直线.考点3直线与平面平行的性质及应用【分析】利用线面平行的性质定理可证线线平行.【解析】已知:α∩β=b,α∥a,β∥a,求证:a∥b.证明:证法一:如图,过a作平面γ∩α=c,由a∥α得a∥c.同理过a作平面δ∩β=d,则a∥d,于是c∥d.又cβ,dβ,所以c∥β.又α∩β=b,cα,所以c∥b.又a∥c,所以a∥b.证法二:如图,在b上任取一点A,过A和a作平面和α相交于l1,和β相交于l2,因为a∥α,所以a∥l1.因为a∥β,所以a∥l2.但过一点只能作一条直线与另一条直线平行,所以l1与l2重合.又因为l1α,l2β,所以l1和l1重合于b,所以a∥b.【评析】应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,有时为了得到交线还需作出辅助平面.证法二中用到了结论“过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行”.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】如图，连接AC交BD于O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.则有PA∥平面BMD.（根据直线和平面平行的判定定理）∵平面PAHG∩平面BMD=GH,∴PA∥GH.（根据直线和平面平行的性质定理）如图，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.（1）求证：E,B,F,D1四点共面；（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F.考点4面面平行的判定与性质【证明】（1）∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2,∴BGA1E,∴A1G∥BE.又同理，C1FB1G,∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FGC1B1D1A1,∴四边形A1GFD1是平行四边形.∴A1GD1F,∴D1FEB,故E,B,F,D1四点共面.【分析】（1）只需证明BE∥D1F或BF∥D1E，即可证明B,E,D1,F共面；（2）利用面面平行的判定条件证明.（2）∵H是B1C1的中点，∴B1H=.又B1G=1,∴.又,且∠FCB=∠GB1H=90°,∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG,∴HG∥FB.又由（1）知A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE=B,∴平面A1GH∥平面BED1F.32HBGB112332BCFC【评析】平面与平面平行问题（1）在平面和平面平行的判定定理中，“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略，否则结论不一定成立.（2）若由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时候第三个平面需要作出来.（3）平面与平面平行的判定方法①依定义，采用反证法.②用判定定理及推论.③用“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质证明.如图，已知α∥β，异面直线AB,CD和平面α,β分别交于A,B,C,D四点，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证：（1）E,F,G,H共面;（2）平面EFGH∥平面α.【证明】（1）∵E,H分别是AB,DA的中点，∴EH∥BD且EH=BD.同理，FG∥BD且FG=BD，∴FG∥EH且FG=EH.∴四边形EFGH是平行四边形，即E,F,G,H共面.2121(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′.∵α∥β，∴AD′∥BD.又∵BD∥EH,∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α，EH∥平面β.同理，EF∥平面α，EF∥平面β.∴平面EFGH∥平面α.1.直线与平面平行的判定方法除了应用判定定理外，也可以应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任意直线都平行于另一个平面.2.在平面和平面平行的判定定理中，“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略，否则结论不一定成立.3.若由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时候第三个平面需要作出来.1.在证明平行关系时,要注意此类问题的通性通法、相关题型及常用解题思路方法，在作辅助线或辅助面时，要有理有据，不能随意作，辅助线、辅助面具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断.2.本学案应注重线线平行、线面平行、面面平行的相互转换.名师伴你行