微元法在几何与物理中的一些应用_邓智维

I微元法在几何与物理中的一些应用摘要：微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用，是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程，对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元，在解决实际问题时，应先将实际问题合理转化为适合的数学模型，设定积分变量，然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式，从而可将讨论问题表示为定积分。关键词：微元法；微元；几何应用；物理应用MicroElementMethodInGeometricalAndPhysicalAbstract：Microelementmethodhaswidelyapplicationingeometry,physics,andmechanicsandengineeringtechnology,itisanimportantmethodtosolvethedefiniteintegralproblem.Thispaperexpoundstheprincipleandprocessofmicroelementmethod,todiscusestheapplicationproblemsofgeometricalproblemsandphysics.Itisanalyzedthathowasolidisdividedintosomemicroelementswhendefiniteintegralisappliedtocalculatingitsvolume,whensolvingpracticalproblems,firstlylettheactualproblemturnintosuitablemathematicalmodelrationallyandsettheintegralvariable,andthenapplythemicroelementsmethodtoestablishtheintegralexpression.Thekeypointofusingmicroelementisestablishedthemicroelementsexpressioninlocal,thus,todiscussproblemsexpressedasdefiniteintegral.Keywords：Microelementmethod;Microelement;Geometricapplications;PhysicsapplicationII目录1引言……………………………………………………………………………(1)2微元法介绍……………………………………………………………………(1)2.1微元法…………………………………………………………………………(2)2.2微元法的步骤…………………………………………………………………(3)2.3微元法的使用条件……………………………………………………………(4)3微元法在几何中的一些应用…………………………………………………(4)3.1直角坐标系下平面图形的面积……………………………………………(4)3.2已知平面截面面积的几何体的体积…………………………………………(6)3.3直角坐标系下平面曲线的弧长………………………………………………(7)3.4旋转体的体积和侧面积………………………………………………………(8)3.4.1旋转体的体积………………………………………………………………(8)3.4.1旋转体的侧面积……………………………………………………………(9)4微元法在物理中的一些应用…………………………………………………(10)4.1机械运动问题………………………………………………………………(11)4.2液体压力问题………………………………………………………………(12)4.3电学做功问题………………………………………………………………(13)5结论……………………………………………………………………………(14)致谢………………………………………………………………………………(15)参考文献…………………………………………………………………………(15)1微元法在几何与物理中的一些应用07级信息与计算科学邓智维指导教师:庄思发讲师1引言应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过定积分定义中的四部曲“分割，取近似，求和，取极限”得到定积分表达式的。而是利用步骤更简单的微元法得到定积分表达式。[1]简单来说“微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的，将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量或难以确定的量成为常量、容易确定的量。通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法。这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体。因而，对微元法的理论和其在几何与物理中的应用的讨论，能提高人们利用微元法解决实际问题的熟练程度。2微元法的理论2.1微元法定积分是分布在区间上的整体量。因为整体是由局部组成的，所以将实际问题抽象为定积分，必须从整体着眼，从局部入手。具体做法是：首先将区间上的整体量化成区间上每一点的微分，亦称微元，这是“化整为零”；其次，对区间上每一点的微分无限累加，连续作和，这是“积零为整”，从而得到了所求的定积分。这种方法称为微元法。[2]首先引入曲边梯形求面积问题，如图1曲边梯形由连续曲线()(()0)yfxfx、x轴与两条直线xa、xb所围成。则曲边梯形面积为()baAfxdx。为求上述图形的面积，可以在[,]ab上任取一点x，并任给一个“宽度”ix(分割)，那么这个微小的“矩形”的面积为iA，则21niiAA(1)计算，取近似值：第i个窄曲边梯形的面积iA近似等于以()if为底、以ix为高的窄矩形面积，即()iiiAfx，iix(2)求和：则曲边梯形的面积A近似等于n个窄矩形面积的和，即1()niiiAfx(3)求极限，得A的精确值：01lim()niiiAfx()bafxdx(4)为简便起见，对单个矩形作讨论，省略下标i。A表示任意小区间[,]xxdx上的窄曲边梯形的面积，则AA(5)取[,]xxdx的左端点x为，则()Afxdx(6)于是()Afxdx(7)则01lim()niiiAfx(8)可简化为lim()()baAfxdxfxdx(9)这些问题可化为定积分来计算的待求量A有两个特点：一是对区间的可加性；另一特点，即找任一部分量的表达式：()Afxxx(10)然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找()fxx这一项。但这一项与A之差在0x时，应是比x高阶的无穷小量(即舍弃的部abx)(xfyx图1微元法的意义3分更微小)，借用微分的记号，将这一项记为()dAfxdx(11)这个量dA称为待求量A的元素或微元。用定积分解决实际问题的关键就在于求出微元。设()fx在[,]ab上连续，则它的变动上限定积分()()xaAxftdt(12)是()fx的一个原函数，即()()dUxfxdx。于是，()bbaafxdxdAA(13)这表明连续函数()fx的定积分就是(10)的微分的定积分。由理论依据(11)可知，所求总量A就是其微分()dAfxdx从a到b的无限积累(即积分)()baAfxdx，这种取微元()fxdx计算积分或原函数的方法称为微元法。[3]2.2微元法的步骤设函数Fx，所求量A可以表示为:AFbFa，然后实际进行以下三步:第一步取dx，并确定它的变化区间[,]ab;第二步设想把[,]ab分成许多个小区间，取其中任一个小区间[,]xxdx,相应于这个小区间的部分量A能近似地表示为()fx与dx的乘积，就把()fxdx称为量A的微元并记作dA，即()AdAfxdx(14)第三步在区间[,]ab上积分，得到()()()baAfxdxFbFa(15)这里的关键和难点是求dA,在解决具体问题时本着dA是A的线性主部的原则,这样计算的A为精确值。[4]42.3微元法的使用条件用定积分来解决的确实际问题中的所求量A应符合下列条件：[4](1)A是与一个变量的变化区间],[ba有关的量；(2)A对于区间],[ba具有可加性；(3)局部量iA的近似值可表示为,)(iixf这里)(xf是实际问题选择的函数。3微元法在几何中的一些应用3.1直角坐标系下平面图形的面积(1)曲线()(()0)yfxfx，xa，xb及x轴所围图形(如图2所示)的面积的微元()dAfxdx，则面积()baAfxdx。(2)曲线()yfx(有正有负)，xa，xb及x轴所围图形(如图3所示)的面积的微元()dAfxdx，则面积()baAfxdx。(3)由上下两条曲线()yfx，()ygx(()()fxgx)，xa，xb所围图形(如图4所示)的面积微元()()dAfxgxdx，则面积公式图2图35()()baAfxgxdx。(4)由左右两条曲线)()(yxyx，及dycy，所围图形(如图5所示)的面积的微元()()dAyydy，则面积dc()()Axxdy例1试求由1,,2yyxxx所围成的图形的面积。解：如图6，[1,2]x，这是一个典型的X型图形，所以面积微元1()dAxdxx，于是所求面积2113()ln22Axdxx例2计算由抛物线22yx与直线4yx所围成的平面图形的面积。解：如图7，抛物线与直线的交点2,2、8,4。若选坐标y为积分变量，它的变化范围是2,4，在其上任取子区间,yydy，xyo12图6图4图56则得面积微元21(4)2dAyydy，于是面积：42AdA4221(4)2yydy23411(4)226yyy18若选坐标x为积分变量，它的变化范围为0,8，在0,2上，面积微元2(2)dAxxdx；在[2,8]上，面积微元[2(4)]dAxxdx，因而面积：2802222418Axdxxx运用微元法计算直角坐标系下平面图形的面积，首先应根据题目所给的条件画图；然后判断图形的类型，找出微元；最后根据公式积分，有时候要对图形进行分割。直角坐标系下平面图形的积分，方法比较简单，但是定积分的基础，掌握好积分的方法，对掌握微积分的内容是极为重要。3.2已知平行截面面积的几何体的体积设有一物体如图8，它被垂直于x轴的平面所截，截面面积()Ax为x的已知的连续函数，取x为积分变量，积分区间为[,]ab，在[,]ab上去取代表性小区间[,]xxdx，相应薄片的体积近似等于底面积为()Ax、高为dx的柱体体积，及体积微元()dVAxdx，从而，所求立体的体积()baVAxdx。图77例3一半径为a的圆柱体，用与底面交角为的平面去截该圆柱体如图9，并且截面过底圆直径，求截下部分的几何体体积。解：建立坐标系。在[,]aa上任取一点x为A，那么在这一点垂直x轴的截面为一个直角三角形，其面积为A(x)=21AB×BE而22OAOBAB；tanABBE所以，所求的体积221()tan()2aaaaVAxdxaxdx233112tantan233aaaxxa在《九章算术》一书中记载着祖暅（祖冲之之子）原理：夫幂势即同，则积不容异。就是说，等高处的截面面积既然