微积分 中值定理

第三章中值定理与导数的应用本章导数的应用包括：2、利用导数讨论函数的性态（3.3—3.5节）3、导数在经济中的应用（3.6节）1、利用导数求函数的极限(3.2节))(xf导数)(xf函数中值定理第三章中值定理与导数的应用中值定理是微分学的理论基础,它把函数的改变量同函数的导数联系起来,使得我们能够利用导数来研究函数及其图形的性态。本章我们将学习：●中值定理●洛必达法则●函数单调性、极值与最值的计算●曲线凹凸的判定●函数图形的作法●经济应用罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理§3.1中值定理泰勒定理我们先通过几何图形直观理解罗尔定理:3.1.1罗尔(Rolle)定理0xyab图1AB图2A0xy1abB2（1）连续；（2）可导；（3）端点处函数值相等。点处一阶导数为零。:)(满足设xfy;],[)1(上连续在闭区间ba;),()2(内可导在开区间ba).()()3(bfaf.0)(),,(fba使则至少存在一点如何证明？0xyabAB一、定理3.3.1(罗尔定理)函数f(x)在最大值点或最小值点处一阶导数为零。证明关键点A0xy1abB2,)1(mM,0)(xf故.),(bax,),(内任意一点均可作为此时ba.0)(f使),()(bfaf因为处内的在不妨设),(baM,)(Mf即).,(,0)(baf下证.],[)(,)1(mMbaxf和最小值上一定取得最大值在知由条件,)2(mM内取到，在至少有一个与即),(bamM.取到].,[)()(baxccxf，为常数则证证明关键点：f(x)在最大值点或最小值点处一阶导数为零。故M和m不可能同时在区间端点a,b处取到，由极限的不等式性质知:xfxffx)()(lim)(0xfxffx)()(lim)(0存在，）知由条件（)(2f)()()(fff则.0证毕,],[)()(上的最大值在是因为baxfMf,0)()(],,[fxfbax都有所以对分母0分子0分式0注：(1)罗尔定理三个条件是充分条件，只要三个条件满足，就保证结论成立，若定理中的三个条件缺少其中任何一个，定理结论不一定成立.如下图:abxy点不连续在图二b．中解出形，可以从多少，但对于简单的情值为的个数，也没有指出值，而不能肯定一个即它肯定了至少存在0)(f,罗尔定理是定性的结果(2)abxy不连续图一0xabxy)()(bfaf图四abxy0x不可导图三条件及结论．上满足罗尔定理的在验证函数例]2,0[sin1xy上连续；，为初等函数，故在]20[sin)1(xy解：）内可导；，（在上存在，故在20sin)2,0(cos)()2(xyxxf02sin0sin3）（，上满足罗尔定理的条件，在故]20[sinxy)2,0(0cossinxx于是有．均属于或故)2,0(232轴．线平行于弧上，至少有一点的切等的连续且光滑的曲线在两个端点的纵坐标相x在性及范围．的根的存的条件判断导数方程由）（0)()(1xfxf注意与零点定理应用的区别及柯西定理．推导拉格朗日中值定理)2(三、应用二、几何意义()0fx用零点定理判断方程的根的存在性及范围．并指出各根所在区间．有几个实根说明，，不求设,0)()()3)(2)(1()(xfxfxxxxf解：，令0)(xf.321321xxx，，易知此方程有三个实根连续，，在为初等函数，易知又因为]3,2[]2,1[)()(xfxf内可导，在)3,2(),2,1(.0)3()2()1(fff且上应用罗尔定理，在]2,1[.0)()2,1(11f使则至少.0)()32(22f使，同理，至少.0)()(实根至多有两个为二次多项式，又xfxf.)3,2(),2,1(,0)(内分别位于有且仅有两个实根所以xf至少有故0)(xf两个实根，例2例3设为n次多项式，没有实根，试证明最多()nPx()0nPx()0nPx只有一个实根.证设至少有两个不等的实根，设为，不妨设()0nPx12,xx12,xx因在上连续，()nPx12[,]xx在内可导，12(,)xx且12()()0,nnPxPx由罗尔定理知，至少存在一点12(,),xx使得()0.nP方程的根，()0nPx即是x与题设矛盾.所以，()0nPx最多只有一个实根.0)()1,0()()(1)21(0)1()0()1,0(]1,0[)(gxxfxgfffxf使证明：至少存在一点，又，内可导，且上连续，在在设,00)0()0(fg分析：,11)1()1(fg.2121)21()21(fg，，又01)1(021)21(gg故由零点定理知上连续在．又由题设知使],0[)(0)()1,21(cxgcgc，故由罗尔定理，至少内可导，在0)()0(),0(cggc.0)()1,0(),0(gc，使证：例4罗尔(1652-1719)是法国数学家.1652年4月21日生于昂贝尔特,1719年11月8日卒于巴黎.罗尔在数学上的成就主要是在代数方面,专长于丢番图方程的研究.罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程0)(xf0)(xf至少有一个根。但罗尔并没有使用导数的概念和符号，后一个多项式实际上是前一个多项式的导数，罗尔只叙述了这个结论，而没有给出证明。这个定理本来和微分学无关，因为当时罗尔是微积分的怀疑者和极力反对者，他拒绝使用微积分，而宁肯使用繁难的代数方法。但在一百多年之后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数,尤斯托.伯拉维提斯还把此定理命名为罗尔定理.中值定理拉格朗日)(2.1.3LagrangeabxyABabxyAB（拉格朗日中值定理）一、定理2.1.3满足：设)(xf上连续在闭区间）（],[1ba内可导在开区间）（),(2ba)()()(),(fabafbfba使则至少存在一点明分析拉格朗日中值定理的证0)()()(abafbff分析：要证结论等价于()()()()0xxfbfaFxfxba即0)()()(xxabafbfxfdxd即.],[)()()()(上应用罗尔定理在因此我们对函数baxabafbfxfxF根据待证结论构造辅助函数:明拉格朗日中值定理的证xabafbfxfxF)()()()(设内可导，且上连续，在在可验证),(],[)(babaxFabbafabfbFaF)()()()(故由罗尔定理知，0)(),(Fba使至少0)()()(abafbff即abafbff)()()(即证毕．证注：即得，令在拉格朗日中值定理中),()()1(bfaf.特殊情况是拉格朗日中值定理的罗尔定理，故罗尔定理几何意义)2(.ABBA平行于割线上，至少有一条切线在连续且光滑的曲线弧abxyAB端点的大小。个用公式时，不必讨论两公式仍成立，故应若，在拉格朗日中值公式中ab)3(例如：f(x)在以a,b为端点的区间上应用拉格朗日中值定理联系起来，函数改变量同函数导数微分中值定理，它将拉格朗日中值定理又称)4(.函数提供了理论基础为用导数研究几种等价形式：下微分中值公式，它有以拉格朗日中值公式又称.,),)(()()(之间在baabfafbf10),))((()()(ababafafbf则有若令,,xxbxa.公式该公式也称为有限增量）xfxxf()(10,)(xxxf注：例1验证函数在区间上满足拉格朗日定理条件，并()lnfxx[1,]e求出定理中的.解因为函数为基本初等函数，故f(x)在[1,e]上连续，()lnfxx则存在一点，使得()(1)(),1feffe(1,)e即11,1e1.e1()=(1,)()(1,).fxefxex在上有定义，故在内可导故f(x)在[1,e]上满足拉格朗日中值定理的条件，