微积分(第二版吴传生)第二章 第一节 数列的极限教案

二、数列的有关概念四、收敛数列的性质五、小结思考题三、数列极限的定义第一节数列的极限一、引例“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、引例R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111二、数列(sequence)的有关概念1、定义:以正整数集N为定义域的函数)(nf按,)(,,)2(,)1(nfff排列的一列数称为数列，通常用,,,,21nxxx表示，其中)(nfxn，nx称为通项例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n;,2,,8,4,2n}2{n;,21,,81,41,21n}21{n;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn2、有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切正整数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.，都满足，对一切若存在实数AxnAn,}{为下有界称nx；的下界是}{nxA，都满足，对一切若存在BxnBn,}{为上有界称nx．的上界是}{nxB例如,1nnxn数列有界；nnx2数列无界数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.3、单调性,}{21nnxxxx若满足数列}{nx则称数列为单调增数列；,21nnxxxx若满足数列为则称数列}{nx单调减数列．单调增数列和单调减数列统称为单调数列.4、子数列(subsequence)列，简称子列．的子数新数列称为取其中无穷多项构成的，任在保持原有顺序情况下定义：将数列nnxx,,,,,21nixxxx,,,,21knnnxxx.knnxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列注意：例如，.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放三、数列极限的定义(Limitofasequence)问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那么就称常数a是数列｛nx｝的极限,或者称数列｛nx｝收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数Nx1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,,1]1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：例2.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0n对于一切正整数例3.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn,]lnln[为自然数取qN,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证,01任给.limaxnn故,limaxnn,1axNnNn时恒有使得当axaxaxnnn从而有aaxna1四、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一.证babxaxnnnn且又设,lim,lim由定义,使得,,,021NN;21axNnn时恒有当;22bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.222ab，这是不可能的故收敛数列不可能有两个极限.2ab且令例5.)1(1是发散的证明数列nnx证,limaxnn设由定义,,21对于,21,,成立有时使得当则axNnNn),21,21(,aaxNnn时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内..,}{,但却发散是有界的事实上nx收敛数列必为有界数列.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.性质2（有界性）,0(0).nnnNxa当时或).0(0,lim)0(0aaaxxxnnnn或则且或若推论性质3（保号性）lim,0(0),nnxaaa若且或则存在正整数N，证,0a设,2a取时有使得当则NnN,.2320axan即有这个定理表明若数列的极限为正（或负），则该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.,2aaxn性质4（收敛数列与其子数列间的关系），那么它的任一子数列收敛于如果数列axn}{.a，且极限也是也收敛这个定理表明若数列有两个不同的子数列收敛于不同的极限，则该数列是发散的.五、小结思考题数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.思考题指出下列证明1limnnn中的错误．证明要使,1nn只要使)1ln(ln1nn从而由2ln)1ln(ln)1ln(1nn得,0取1)1ln(2lnN当时，必有成立Nn10nn1limnnn思考题解答1nn)1ln(ln1nn~（等价）证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1nn实际上就是不等式)1ln(ln2lnnnn即证明中没有采用“适当放大”的值nnln从而时，2ln)1ln(Nn仅有成立，)1ln(2lnn但不是的充分条件．)1ln(lnnn反而缩小为n2ln一、利用数列极限的定义证明:1、231213limnnn；2、19....999.0limn二、设数列nx有界，又0limnny，证明：0limnnnyx.练习题