考研数三(2008-2017年)历年真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1)若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则()(A)12ab(B)12ab(C)0ab(D)2ab(2)二元函数(3)zxyxy的极值点是()(A)（0，0）(B)（0，3）(C)（3，0）(D)（1，1）(3)设函数()fx可导，且()()0fxfx，则()(A)(1)(1)ff(B)(1)(1)ff(C)(1)(1)ff(D)(1)(1)ff(4)若续数211sinln(1)nknn收敛，则k=()(A)1(B)2(C)-1(D)-2(5)设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则()(A)E不可逆(B)E不可逆(C)2E不可逆(D)2E不可逆(6)已知矩阵200021001A,210020001B,100020002C,则()(A)A与C相似,B与C相似(B)A与C相似,B与C不相似(C)A与C不相似,B与C相似(D)A与C不相似,B与C不相似(7)设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则AB与C相互独立的充分必要条件是（）(A)A与B相互独立（B）A与B互不相容（C）AB与C相互独立（D）AB与C互不相容(8)设1,2,...(2)nXXXn为来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niixxn则下列结论正确的是（）(A)21()niix服从2x分布(B)212()nxx服从2x分布(C)21()niixX服从2x分布(D)2()nX服从2x分布二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.(9)322(sin)xxdx________.(10)差分方程122tttyy通解为ty=(11)设生产某产品的平均成本()1qCqe，其中产量为q，则边际成本为(12)设函数(,)fxy具有一阶连续偏导数，且(,)(1)yydfxyyedxxyedy，(0,0)0f，则(,)fxy=(13)设矩阵101112011A,1、2、3为线性无关的3维列向量组。则向量组1A、2A、3A的秩为(14)设随机变量X的概率分布为122PX，1PXa，3PXb，若0EX,则DX=三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求+030limxtxxtedtx(16)(本题满分10分)计算积分3242(1)Dydxdyxy，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴为边界的无界区域.(17)(本题满分10分)求21lim(1)nnkkklnn(18)(本题满分10分)已知方程11ln(1)kxx在区间（0,1）内有实根，确定常数k的取值范围.(19)(本题满分10分)设01a，10a，111()(1231nnnanaann、、），xS为幂级数0nnnax的和函数(I)证幂0nnnax的收敛半径不小于1.(II)证(1)()()0(1,1)XSxxSxx，并求()Sx表达式.(20)(本题满分11分)设3阶矩阵123,,A有3个不同的特征值，且3122.(I)证明()2rA；(II)若321,aaa，求方程组Ax的通解.(21)(本题满分11分)设二次型222123123121323,,2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换xQy下的标准形为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q.(22)(本题满分11分)设随机变来那个为X，Y相互独立，且X的概率分布为102,2PXPXY的概率密度为2,010,yyfy其他(I)求()PYEY;(II)求ZXY的概率密度.(23)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,,...,nXXX相互独立且均服从正态分布2,N.该工程师记录的是n次测量的绝对误差1,2,iiZXin，利用12,,nZZZ估计.(I)求1Z的概率密度；(II)利用一阶矩求的矩估计量；(III)求的最大似然估计量.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（1）设函数()yfx在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则（）A.函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有2个拐点B.函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有3个拐点C.函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有1个拐点D.函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有2个拐点（2）已知函数(,)xefxyxy，则（）A.0xyffB.0xyffC.xyfffD.xyfff（3）设3(1,2,3)ikDJxydxdyi，其中1(,)01,01Dxyxy，2(,)01,0Dxyxyx23(,)01,1Dxyxxy则（）A.123JJJB.312JJJC.231JJJD.213JJJ（4）级数111()sin()1nnknn（k为常数）（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关（5）设,AB是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）A.TA与TB相似B.1A与1B相似C.TAA与TBB相似D.1AA与1BB相似（6）设二次型222123123122313(,,)()222fxxxaxxxxxxxxx的正负惯性指数分别为1,2，则（）A.1aB.2aC.21aD.1a或2a（7）设,AB为两个随机变量，且0()1,0()1PAPB，如果()1PAB，则（）A.()1PBAB.()0PABC.1）（BAPD.()1PBA（8）设随机变量X与Y相互独立，且~(1,2),~(1,4)XNYN，则()DXY=（）A.6B.8C.14D.15二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）已知函数()fx满足301()sin21lim21xxfxxe，则0lim()xfx__________.（10）极限2112lim(sin2sinsin)nnnnnnn___________.（11）设函数(,)fuv可微，(,)zzxy由方程),(122yzxfxyzx）（确定，则(0,1)|dz__________.（12）设{(,)|||1,11}Dxyxyx，则22yDxedxdy___________.（13）行列式1000100014321_________.（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为__________.三、解答题：15-23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）求极限410lim(cos22sin)xxxxx。（16）（本题满分10分）设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数()QQp，需求弹性(0)120pp，p为单价（万元）。（Ⅰ）求需求函数的表达式；（Ⅱ）求100p万元时的边际效益，并说明其经济意义。（17）设函数的最小值。并求求)(),(),0(||)(1022xfxfxdtxtxf（18）（本题满分10分）设函数()fx连续，且满足00()d()()d1xxxfxttxtftte，求()fx。（19）（本题满分10分）求幂级数220(1)(21)nnxnn的收敛域及和函数。（20）（本题满分11分）设矩形11110111aAaaa，0122a，且方程组Ax无解，求：（1）求a的值（2）求方程组TTAAxA的通解.（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B满足2BBA。记100123(,,)B，将123,,分别表示为123,,的线性组合。（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)XY在区域2(,)|01,Dxyxxyx上服从均匀分布，令1,.0,.XYUXY（I）写出(,)XY的概率密度；（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；（III）求ZUX的分布函数()Fz.（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度其他，,0,0,3);(32xxxf其中(0,)为未知参数，123,,XXX为来自X的简单随机样本，令123max(,,)TXXX.。（1）求T的概率密度；（2）确定a，使得()EaT.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：（）(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)若,则(2)设函数在内连续,其二阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A)(B)(C)(D)(3)设,函数在上连续,则（）(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：（）(A)(B)(C)(D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A)(B)(C)(D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：（）(A)(B)(C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:（）(A)(B)(C)(D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则(A)(B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处)(xy取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.(16)(本题满分10分)计算二重积分，其中(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.(I)证明定价模型为；(II)若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18)(本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19)(本题满分10分)(I)设函数可导，利用导数定义证明(II)设函数可导，，写出的求导公式.(20)(本题满分11分)设矩阵，且.(I)求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22)(本题满分11