高数方法1

1高等数学方法主讲教师:王升瑞第一讲2唯有奋斗最风流!惜时如金3此刻打盹，你将做梦，学习时的痛苦是暂时的，未学到的痛苦是终身的；学习这件事，不是缺乏时间，学习不是人生的全部，请享受无法回避的痛苦；哈佛图书馆的训诫但是人生的一部分;只有比别人更早，更勤奋的努力，此刻学习，你将圆梦；而是缺乏努力；学习也无法征服，还能做什么呢？才能尝到成功的滋味；4谁也不能随随便便成功，狗一样地学习，绅士一样地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈佛图书馆的训诫没有艰辛，便无所获。它来自彻底的自我管理和毅力；即使现在，对手也不停地翻动书页；5培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学，才算真正发展了。伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。科学家语录什么也看不清。勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。6华罗庚（1910-1985）“聪明在于勤奋,天才在于积累”“学而优则用,学而优则创”“由薄到厚,由厚到薄”注意问题：认真听课，扼要记录，多做题目，总结规律。7一提到数学，很多人首先想到的是复杂的公式、大量的计算、漫天的数字数据、还有百思不得其解数学题。对数学产生畏惧、反弹心理。.这与中国的高中教育偏重于对于知识的灌输，而非对于知识的掌握密切相关。基于应试的压力，数学教育尤其容易演变为固定类型的题海战术，某种意义上的死记硬背，而非激发学生的创造性思维，这在根本上就是与数学教育相背道而驰的。甚至成为这样使学生8其实数学背后的思想，精髓。数学的证明方法才是数学的都是约定俗成、极少歧义的概念。数学学习关注的是逻辑推演能力。数学是一种表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。在数学中，不仅各种数字、函数，就连加、减、乘、除，大于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也用清晰、直观的坐标或图形表达比较复杂的逻辑关系。而几何方法，更是能学习的目的是得到某种确定感和安全感，就是一个战场，身处战场绝对不是一安全的事，并且上学有利于得到某种确定感和安全感。不是为了考高分念书，而是为了不逃避痛苦与讨厌的事。生活本质上活脱脱9科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙,是由必然王国通向自由王国的桥梁。数学方法是数学的灵魂高等数学方法（上）10参考书张晓宁、李安昌：高等数学方法中国矿业大学出版社，2002.11目录第一讲高等数学中的分析问题和解决问题方法第二讲研究函数与极限的基本方法第三讲导数的计算方法及微分中值定理应用第四讲导数应用的方法第五讲积分学的概念、性质和不定积分的计算法第六讲定积分的计算、证明和解应用问题的方法第七讲试题类型及解题方法分析12前言一.为什么要学“高等数学方法(参考前言第一段)1.科学方法的重要性科学是什么,为什么:技术做什么,怎么做:科学方法桥梁与钥匙。反映自然、社会、思维的客观规律的分科的知识体系。进行物资资料生产所凭借的方法和能力。13数学思维的体操科学的语言生活的需要(思路)(表达)(应用)数学方法对数学规律的认识思维方法解题方法(是数学的灵魂)2.数学方法的含义14二.“高等数学方法”的结构与学习方法(参考前言第二、三段)第一部分(第一至第七章)每节包含:方法指导,实例分析,相关问题第二部分(第八至第十一章)包括综述和提高(从古典数学向近代数学靠拢)学习方法:1.掌握数学内容和数学方法相结合；2.重视分析问题和解决问题的方法；3.学习要纵横结合,着眼于提高数学素养。15第一讲高等数学中的分析问题和解决问题方法16一.数学模型及数学建模方法(P511,第一节)数学模型客观实际问题内在规律性的数学具有形式化、符号化、简洁化的特点.是一种高度抽象的模型.有狭义和广义两种解释.数学建模方法•实验归纳法•理论分析法(P514)物理模型数学模型求解和分析结构.许多物理中的概念都要借助于高等数学中的数学结构才能说的清楚。17可无限逼近例如,为什么用N及语言定义极限?•用圆内接正多边形面积逼近圆面积A.orn圆内接正n边形的面积为nA),5,4,3(n,0N(正整数),当Nn时,有,AAn记作.limAAnn精度要求边数足够多找出利用极限知识可求出:nAlim2rnncossinn2rnnrcossin2n18•测量圆面积2rA直接观测量为r间接观测量为A.半径真值为0r面积真值为0A测量圆半径得r计算圆面积为2)(rrf任给精度,0要使0)(Arf寻找精度,0让0rr记作20200lim)(limrrrfrrrr19再如,椅子稳定问题(P515～P516)假设:四条腿一样长;地面为连续曲面.建模:设A,C两脚与地面的距离之和为],0[)(2CgB,D两脚与地面的距离之和为],0[)(2CfABCDABCD不妨设,0)0(g,0)0(f且对任意有,0)()(gf证明存在,),0(02使.0)()(00gf20证明:设)()()(gfh,0)0(h,],0[C2又,0)(h2由连续函数零点定理可知,存在,),0(02使0)(0h即)()(00gf又知,0)()(00gf所以0)()(00gf思考:对长方形板凳的稳定问题如何考虑?不妨设,0)0(g,0)0(f且对任意有,0)()(gf证明存在,),0(02使.0)()(00gf2（转后，对角线互换）。提示：相邻两脚之和，并旋转1800。21二.几种常用的分析问题的方法(P444-455)1.简化方法2.直观分析法3.逆向分析法4.类比法1.简化方法复杂问题简单问题分解法变换法换元法递推法转化法22abba2222122xxbabalnlnlnbabalnlnlnabablnlnabbealn1cossin22xxxxxcossin22sin22cos1sin2xx22cos1cos2xxxx22sectan1xx22csccot10lnxexx常用几个的初等函数公式22cos2cossinxxx22cos1x212sinx23sinsin2sincos221sinsin[cos()cos()]21sincos[sin()sin()]2tantantan()1tantansinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22sin()sincoscossin1coscos[cos()cos()]2cos()coscossinsin24单调递减。提示:令)663()(23tttetgt)0(0)(3ttetgt则转化为讨论下述函数在t0时单调递减.注意说明1.与具有相同的极值点,故可用后者代替前者讨论极值2.有些复合函数的单调性问题,可利用组成它的简单例1.证明问题与单调性问题.函数链的单调性传递得出.如P445例1.25设,求提示：将函数化为则)24cos(41)(nxynnxxy44cossin.)(ny例2.442222sincos2sincos2sincosyxxxxxx2212sincosxx211sin22x1cos414x262.直观分析法•通过特例或图形，寻找规律、方法和结论.•与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示.•有关几何应用画出图形找几何关系.•填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.27)(xf的图形关于例1.设定义在实数域上的函数直线ax及)(abbx对称,试证)(xf为周期函数.(P.447例4)oyxaxbxx)(xfxa2)(2abx直观分析:任取一个实数,xxa()2,aaxax2axxb((2))2(),bbaxxba()(2)(2())fxfaxfxba因此有)(xf是周期为)(2ab的函数.它关于直线的对称点为而关于直线的对称点为显然可猜想28)(xf的图形关于例1.设定义在实数域上的函数直线ax及)(abbx对称,试证)(xf为周期函数.(P.447例4)oyxaxbxx)(xfxa2)(2abx证:,),(x有))(2(abxf)2(xaf)(xf因此)(xf是周期为)(2ab的函数.29拉格朗日中值定理)((1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使.)()()(abafbffxyoab)(xfy思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.,)(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕30渐近线若,)(limbxfx)(x则)(xfy有水平渐近线;by若0lim(),xxfx0()xx则)(xfy有垂直渐近线;0xx若,)(limaxxfx)(x,)(limbxaxfx)(x则)(xfy有斜渐近线.bxay31例2.如何求函数)(xfy的斜渐近线?bxay分析:oyxx)(xfybxay由图可知,若曲线)(xfy有斜渐近线,bxay则必有0)]()([limbxaxfx从而xxlimxbxxfa)(0xlimxbxxfa)(0,lim)(xxfxa])([limxaxfbx32例如,求曲线12()xfxxe的斜渐近线。解:xxfxa)(lim])([limxxfbx21limxex1]1[lim21xexx21limxxx0所以曲线有斜渐近线.xy3332(1)xyx32yx32(1)limlimxxyxkxxx32(1)lim()lim()xxxbykxxx的斜渐近线方程。解所求斜渐近线方程为例3、求曲线321lim[(1)1]xxx321lim(1)1xx2005考研313lim22xxx34练习、曲线渐近线的条数（）；A、1；B、2；C、D、3.则为垂直渐近线；，则为水平渐近线，解2012考研故没有斜渐近线。22limlim0(1)xxyxxkxxx35例4.求笛卡儿叶形线yxayx333的渐近线.(P100例13)解:令y=tx,代入原方程得曲线的参数方程:x,133ttay3213ttax,1t因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1()1(3lim21tttttata所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,axy即0ayx36)(xf),(ba)(xf))(,()),(,(bfbBafaA)(xfy,))(,(cfcC,bca),(ba在],[ba上连续,在内存在,连接两点的直线交曲线于且试证至少存在一点使.0)(f提示:如图所示,有),(),,()()()()(2121bccaabafbfff在],[21上应用Rolle定理。12CacbAB对（P118题