高数竞赛辅导2013极限

专题辅导极限中值定理♀补充重要的结论)(}{limlimlim122kaxxaxxaxknnkkkknn的所有子列例（06考研）nnnn)1(1limAxfxxnxxAxfAxfxfAxfnnnnxxxxxxxx)(lim,),(0lim)()(lim)(lim)(lim000000且提示11222limlim,1212limlim122)1(12)1(2kkkkxkkxkkkkkk♀求极限的几种重要方法1、利用四则运算法则例（98北京市竞赛题，10天津市竞赛题）nxn2112111111nnxlim,求提示)111(2)1(23211nnnnn练习（93南京大学竞赛题）112221216174523nnnxnnxlim,求提示12)12()12)(12)(12(224221nn分子nnxxxx2cos2cos2coslimlim22例（00北京市竞赛题）2答案：,22122211n分母)212(lim212lim12122nnnnn2、利用两个重要极限公式例xxx1coslim21annannan])21(12ln[lim例（02考研）设常数，则____________简答21)11(cos11cos121)21(lim)11(coslim11cos1lim1coslimexxxxxxxxxxxxxx原式简答aanannann211)21(11lnlim)21()21(原式xenxxxxneee)(lim20n例（09年全国竞赛题），其中是给定的正整数。ennxxxxnxxxxxenneeeneeennxxxxennneeenxneeenneeenxxxnxxx21202020212limlim1lim22原式原式简答3、利用等价无穷小代换简化计算例)1(lnlimnnnnn简答1ln1lnlim)1(lnlim)1(lnlimln1nnnnennnnnnnnnnnxnxxxxxxxaxaxexxxxxxxxxxxnxx1~11,21~11~1)1(21~cos1,ln~1,~1,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin02，，，，时，当常用的等价无穷小注意：作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换例1977,019771limlim119761976xnxnnxnnxnxn故原式（国外高校竞赛题）简答xnnnxxn，求设19771111lim1976（04年考研题）例13cos21lim30xxxx简答61)31cos1ln(lim1lim233cos2ln0xxxenxxx原式4、利用洛必达法则（2）等价无穷小代换（3）求极限的式子中，含有极限存在且不为0的因式，应用极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外（1）先考虑对求极限的式子进行代数或三角变形，再考虑结合（2）和（3）应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算。这时才可用洛必达法则，限时，考虑相应的函数极注：求数列极限)(lim)(limxfnfxn例（08考研）求极限40sin)]sin(sin[sinlimxxxxx例(97考研)求极限)1ln(1lim220axaxxax212lim21lim)1ln(lim)1ln(lim)1ln(1lim2200202020aaxxxaxaxaaxaxaxaxaaxxxaxxxxx原式简答613)cos(sin1lim3)]cos(sin1[coslim3cos)cos(sincoslim)sin(sinsinlim20202030xxxxxxxxxxxxxxxx原式简答例.已知)(xf在6x的邻域内为可导函数,且6lim()0,xfx6lim()2010,xfx求极限6636()lim(6)xtxtfududtx。解：6662366()()limlim(6)36xtxxxtfududtxfuduxx6'66()2limlim2010666xxxfuduxfxfxxfxx5、利用夹逼准则maaa,,,21nnmnnnaaa121)(lim例：设为正数，求mnnnmnnmaaaMmaaaMaaaM,,max,,max21112121原式简答例.求22232323212lim...12nnnnnn。解：设222232323231,1nnkkkkkxnknnnkn又211121,6nkknnn323121121661nnnnnnnxnnn又3231211211limlim3661nnnnnnnnnnn1lim3nnx即222323232121lim...312nnnnnn6、利用单调有界准则0,1,2,3,...,nan12112121(1)(1)(1)(1)(1)nnnaaaxaaaaaalimnnx例.设证明:存在0,1,2,...,nnanx11111xa证明：单调增加，2211211121211111111111(1)(1)11(1)(1)(1)(1)axaaaaaaaaa112111(1)(1)(1)nnxaaa设11212112(1)(1)(1)11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnnaxxaaaaaaaaaaaa1211(1)(1)(1)naaa1,nxnx0limnxx单调有界，存在.例.证明：数列7,77,777,7777,...收敛，并求其极限。证明：设该数列通项为nx，则277nnxx，令77fxx，则f(2)=2，22,22nnnnxfxxfxf，由拉格朗日中值定理得：存在介于x，2之间，使得'22fxffx，14777fxxx、，'2222nnnnxfxffx，由题意得07nx，1107,1477747714nnnnf、即'nf，则222,01nnxx12222,kkxx由122022kkxx且12lim20kkx，由夹逼定理得2lim20kkx即2lim2nnx，同理可得21lim2nnx，所以，lim2nnx，即原数列的极限为2。7、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）特点：用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用关键：展开到含xn项，或者不相互抵消的那一项止要熟记常用的展开式例.求222021112limcossinxxxxxex。解：由迈克劳林公式得：2244111128xxxox222221cos1,12xxxoxexox222442211311,cos282xxxxoxxexox44222002222111111882limlim3312cossin22xxxxoxxxxexxxox例.求极限2220coslim[2ln(12)]xxxexxx解：)(!4!21cos442xoxxx22xe)()2(!21214222xoxx)(821442xoxx)(22)()2(212)21ln(2222xoxxxoxxx由此得到：原式2224424420)](222[)](821[)(!4!21limxxoxxxxoxxxoxxx241)(2)(121lim44440xoxxoxx8、利用中值定理例：tansin0limsinxxxeexx。解：方法一：由拉格朗日中值定理得tansintansinxxeeexx，其中在sinx与tanx之间，当0x时0,1etansin2000tansinseccoslimlimlimsinsin1cosxxxxxexxeexxxxxxx3220001coslimseclimlim1coscos31cosxxxxxxxx方法二：先处理一下，在使用等价无穷小和洛比达法则sintansintansin0001tansinlimlimlim3sinsinsinxxxxxxxxeeeexxxxxxxx例.求120lim1nnxdxx。解：10,2使得120121nnxdxx，120limlim0121nnnnxdxx例.设222:rDxyr，则22201limcosrxyrDexydxdyr=___________.解：,rD使得22222coscosrxyDexydxdyre，当0r时,0,0，222220001limcoslimcosrxyrDexydxdyer9、利用导数的定义10、利用连续的定义)(xf0x2)0(f)1cos(sinlim0xxfx例设在点处连续，且，求。答案222220lim0,0xxpppqxqq令22()fxxp例22()gxxq222200()(0)(0)0limlim()(0)(0)0xxfxfxppfpxgxfgqxqqx11、利用定积分的定义例.lim(coscoscos)22221nnnnnn.1222201021limcoscos...coscos1sin211cos220222nnxdxnnnnxxxdx例求1111lim23xnnnnnnnnn解：1111lim23xnnnnnnnnn1100111112311111lim122ln122ln2011xnnnnnndxtdttttx12、利用级数收敛的必要条件例.设00x，112(1)2nnxxx（1,2,3,...n