高数第一章极限存在准则

二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第六节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限第一章(2)limlimnnnnyza1.夹逼准则(准则1)(P50)(1)(1,2,)nnnyxznlimnnxa证:由条件(2),0,1,N当时,当时,令12max,,NNN则当nN时,有由条件(1)nnnyxzaa即,nxa故lim.nnxa2,N机动目录上页下页返回结束例1.证明证:利用夹逼准则.2221112nnnnn22nn且22limnnn21lim1nn1limnn2221112nnnn1由机动目录上页下页返回结束例2.设证:利用夹逼准则.nnnab2nM而limnnnnabmax{,}.ab令机动目录上页下页返回结束，求例).12111(lim222nnnnn求解nnn22111nnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼准则得.1)12111(lim222nnnnn,12nnnnn2函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系定理1.0lim()xxfxA:nx0,nxx有定义,0(),nxxnlim()nnfxA为确定起见,仅讨论的情形.0xx有()nfxxnx机动目录上页下页返回结束定理1.0lim()xxfxA0,()nnxxfx有定义,且设0lim(),xxfxA即0,0,当有().fxA:nx0,()nnxxfx有定义,且对上述,时,有于是当nN时().nfxA故lim()nnfxA可用反证法证明.(略)lim().nnfxA有证：当xyA,N“”“”0x机动目录上页下页返回结束定理1.0lim()xxfxA0,()nnxxfx有定义且lim().nnfxA有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列0,nxx不存在.lim()nnfx使法2找两个趋于的不同数列nx及,nx使lim()nnfxlim()nnfx()x()nx机动目录上页下页返回结束例1.证明不存在.证:取两个趋于0的数列12nxn及212nxn有1limsinnnx1limsinnnx由定理1知不存在.(1,2,)nlimsin20nn2limsin(2)1nn机动目录上页下页返回结束2.函数极限存在的夹逼准则定理2.0(,),xx当时00lim()lim()xxxxgxhxA()(),gxhx()fx0lim()xxfxA)0(Xx)(x)(x)(x且(利用定理1及数列的夹逼准则或直接由极限的定义可证得)机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例2.求解:注意到当时,从而,当时,由夹逼准则,另外,当时,同样由夹逼准则,可见,sincos1xxx圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即12sinx12tanx亦即2sintan(0)xxxx2(0,)x时，2(0)x显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积DCBAx1o故有注注目录上页下页返回结束两个重要不等式注目录上页下页返回结束(1)对于任何的x,都有(2)当22x时,有在这两个不等式中,等号只有在时成立。0xDCBAx1o例3.求例4.求机动目录上页下页返回结束2sinlimcosnnnRRn例5.求例6.已知圆内接正n边形面积为证明:证:limnnAn2sincosnnnAnR说明:计算中注意利用机动目录上页下页返回结束满足条件如果数列}{nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列准则II.（单调有界法则）单调有界数列必有极限。lim()nnxaMlim()nnxbm(证明略)ab机动目录上页下页返回结束几何解释:例3的重根式证明数列)(333nxn证,1nnxx}{nx31x,3kx假定kkxx3133,3}{nxnnxlim极限存在.显然(1)是单调增加的;(2),3是有界的;存在.,31nnxx,321nnxx21limnnx,32AA,2131A(舍去).2131limnnx(3)的重根式证明数列)(333nxn极限存在.),3(limnnxAxnnlim设2131A解得几个常用式子nnab()ab(1)(2)121(1)(1)mmmxxxxx(3)三角函数恒等变换121()nnnaabb(4)牛顿二项式公式：01122211()()nnnnnnnnnnnnnabCaCabCabCabCb例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:利用二项式公式,有1(1)nnnx111!nn2(1)12!nnn3(1)(2)13!nnnn(1)(1)1!nnnnnnn1111!(1)nn2(1)n1(1)nn112!(1)n113!(1)n2(1)n机动目录上页下页返回结束11nx11!(1)nn2(1)n1(1)nn112!(1)n113!(1)n2(1)n111nx112!1(1)n1123!11(1)(1)nn112(1)!111(1)(1)(1)nnnnn大大正1(1,2,)nnxxn1(1)11nnnx又比较可知机动目录上页下页返回结束根据准则2可知数列nx记此极限为e,1lim(1)nnnee为无理数,其值为2.718281828459045e即有极限.原题目录上页下页返回结束1(1)11nnnx11又31132n无理数单调有界数列必有极限2.证:当0x时,设1,nxn则1(1)xx11(1)nn11(1)nn11lim(1)nnnlimn111(1)nn111ne11lim(1)nnn11lim[(1)1]nnnn（）e1lim(1)xxxe机动目录上页下页返回结束当(1),xt则从而有(1)11lim(1)ttt(1)1lim()tttt11lim(1)ttt11lim[(1)(1)]tttte故1lim(1)xxxe时,令机动目录上页下页返回结束注：2.11,xxx令则,当时,0.10lim(1)xxelimxxex1于是公式（1+）=可化为注：3.()()1limlim[1]()xfxxfxeexfx1（1+）=可变化为当x实数趋向或时,1(1)xx的极限都存在且等于e。函数注：1.可证明,“以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的倒数,其极限为数e”.exxx)11(lim该极限的特点:;1)1(型未定式exxx10)1(lim(2)括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.注若极限呈,1型但第二个特点不具备,通常凑指数幂使(2)成立.这个重要极限应灵活的记为:则例7.求解:令,tx则1lim(1)ttt1limt说明：若利用()1()()lim(1),xxxe机动目录上页下页返回结束则原式111lim(1)xxxe例8.求解:原式=2662lim[(1)]xxxe机动目录上页下页返回结束例9.求解:原式=10limln(1)ln1xxxe例10.求解:令1,xte则log(1),axt原式0limlog(1)tatt例10.求解:原式=2211lim[(sincos)]xxxx22lim(1sin)xxx2(1sin)xe机动目录上页下页返回结束21sinx练习.求1lim().1xxxx练习.求20lim(1).xxx练习.练习.准则Ⅱ’单调并且有界,设函数f(x)在点x0的某个右邻域内则f(x)在点x0右极限)(0xf必定存在.准则Ⅱ单调有界数列必有极限.函数极限也有类似的准则.对于自变量的不同变化过程),,,,(00xxxxxx准则有不同的形式.后备内容*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极限存在的充要条件是:0,存在正整数N,使当,mNnN时,nmxx证:“必要性”.设lim,nnxa则时,有使当,2nxa2mxa因此nmxxnxamxa“充分性”证明从略.有柯西目录上页下页返回结束的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1找一个数列:nx0,nxx0()nxxn且使lim()nnfx法2找两个趋于0xnx及,nx使lim()nnfxlim()nnfx不存在.函数极限存在的夹逼准则数列极限存在的单调有界法则2.两个重要极限或注:代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束思考与练习填空题(1～4)sin1.lim_____;xxx12.limsin____;xxx013.limsin____;xxx14.lim(1)____;nnn0101e作业P561(4)，(5)，(6);2(2)，(3)，(4);4(4)第七节目录上页下页返回结束