高斯公式与斯托克斯公式

©第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式二、通量与散度高斯公式通量与散度第十章三、斯托克斯公式四、环流量与旋度©一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,yxRxzQzyPddddddzyxzRdddyxRdd下面先证:函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)©231zyxyxD),,(yxRyxyxRdd),,(,),(:11yxzz证明:设,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRddyxD2zyxzRdddyxdd13yxRdd为XY型区域,),,(:22yxzz则yxyxRdd),,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),,(),(1yxz©所以zyxzRdddyxRdd若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证zyxyQdddyxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPdddxzQddzyxxPdddzyPdd三式相加,即得所证Gauss公式：©例+.用Gauss公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=zyxzyddd)(zrrzrddd)sin((用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面z=0,z=3所围空间思考:若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?©例1计算zdxdydydzzx)2()10(,22zyxz,其中为有向曲面的上侧．，zxP2，0QzR2xP0yQ1zR解:设则为了用高斯公式,补面)1:(,1:221yxDzxy下侧．1设与围成立体由高斯公式,zdxdydydzzx)2(©例1续11)12(dxdydv10122223yxzyxdxdydxdydz21013dzz.223zdxdydydzzx)2(11©例+.利用Gauss公式计算积分其中为锥面222zyxhozyx解:作辅助面,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z=0及z=h之间部分的下侧.1，记h1所围区域为,则zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2©zyxzyxIddd)(2利用重心公式,注意0yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1©练习..dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设为曲面21,222zyxz取上侧,求解:作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10dr202dcos12131zoxy211用柱坐标用极坐标©coscoscoszvyvxv在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式Sd例+.设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中是整个边界面的外侧.uPxvuQyvuRzv分析:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPddddddxv高斯公式222222zvyvxv©证:令uP,xvuQ,yvuR,zv由高斯公式得222222zvyvxvcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.(见同济P171)yvzvxv©二、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(理意义可知,设为场中任一有向曲面,yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd©若为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当0时,说明流入的流体质量少于当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.n流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为n③©方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有VMlimMzRyQxP此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.©定义:设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,SnAd为向量场A通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度.记作AdivzRyQxP©0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场A处处有,则称A为无源场.例如,匀速场),,,(),,(为常数其中zyxzyxvvvvvvv0divv故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且©yozx三、斯托克斯(Stokes)公式定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,zRyQxPddd(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为yxDyxyxfz),(,),(:n为确定起见,不妨设取上侧(如图).yxDC则有©则xPdCxyxzyxPd)),(,,((利用格林公式)yxyxzyxPyyxDdd)),(,,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC©因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加,即得斯托克斯公式;©情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕©为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd©例2计算dzyxdyxzdxzyI)()()(，其中222ayx1hzax)0,0(ha为柱面和的交线,从X轴正向看去取逆时针方向．解:设，2zQyR，2xRzP2yPxQ，zyP，xzQ，yxR则dzyxdyxzdxzyI)()()(yxxzzydddddd2由斯托克斯公式．©例2续由两类曲面积分的关系得adxdyhdydz又面与xoy面垂直,有0ddxz222:ayxDxy设在xoz面的投影区域为yxahIdd)(12．xyDdxdyah)(12)(haa2©yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例+.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.yxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD©例+.为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算oz2yx解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得SId0则其法线方向余弦coscoscoszyxzxyxy2©四、环流量与旋度斯托克斯公式zRyQxPddd设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为sRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos©令,引进一个向量),,(RQPAArot记作向量rotA称为向量场A的RQPkjizyx称为向量场A沿有向定义:zRyQxPddd闭曲线的环流量.sASnAddrot于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.©向量场A产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!sASAndd)(rot为向量场A沿的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度rrqE3zyxkjiErot的旋度.解:)0,0,0((除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.3rxq3ryq3rzq©zyxkjiArot的外法向量,计算解:)1,0,0(SIdcos8232zxy例5.设.drotSnAI为n©内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP©2.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为),,,(RQPASnAdzRyQxPAdiv©3.斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos©zuyuxu,,4.场论中的三个重要概念设,),,(zyxuu,),,(RQPA梯度:uradgu,,,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotA