15模型实例饮酒驾车matlab

模型实例二、微分方程模型三、微分方程案例分析一、微分方程建模简介四、微分方程的MATLAB求解五、微分方程综合案例分析微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）一、微分方程模型简介引例一在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者的死亡时间。解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k为比例系数。由牛顿冷却定律，得)(0TTkdtdT则通解为21ktCeT由已知，由4094.2t因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。27)1(,29)(,37)0(tTtTT可得微分方程的特解：213416)(ttT29)(tT，代入解得图1尸体的温度下降曲线建立微分方程的常用方法1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程．2、利用微元分析方法建模根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出微分方程。3、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。微分方程的建模步骤1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等．2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令△t→0，即得到的表达式．dtdW二、微分方程模型3、配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。求微分方程（组）解析解的命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)记号:在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为缺省.例如，微分方程22d0dyx应表达为：D2y=0.例1求2d1duut的通解.解输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')结果：u=tan(t-c)三、微分方程的MATLAB求解例2求微分方程的特解.22dd4290dd(0)0,'(0)15yyyxxyy解输入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为:y=3e-2xsin（5x）例3求微分方程组的通解.d233dd453dd442dxxyztyxyztzxyzt解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%将x化简y=simple(y)z=simple(z)结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t案例1：以为女士每天摄入2500cal食物，1200cal用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立一个通过时间预测体重函数W(t)的数学模型，并用它估计：（1）星期六该女士的体重？（2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？（3）若不进食，N周后她的体重是多少？四、微分方程案例分析解1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：1、“每天”：体重的变化＝输入一输出其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗．2、上述陈述更好的表示结构式：取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则：每天的净吸收量＝2500–1200＝1300（cal)每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal)转换成脂肪量＝1300–16W（cal）3、体重的变化／天＝(千克／天)tWdtdWt01、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位的匹配，利用单位匹配100001calkg1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：建立表达式1000016)12002500(WdtdW积分后可求得其通解为：（1）当时，每天体重的变化：03t0.00161()81.25tWtCe初始条件为：，代入解出124.0974C则0.0016()81.2524.0974tWte(3)57.26799Wkg1526.570W(35001200)1610000dWWdt(3)57.26799W积分后可求得其通解为：（2）当时，每天体重的变化：34t0.00162()143.75tWtCe初始条件为：，代入解出286.89812C则0.0016()81.2586.89812tWte(4)57.40625Wkg(25001200)1610000dWWdt(4)57.40625W积分后可求得其通解为：（2）当时，食物的摄入量恢复正常4t0.00163()81.25tWtCe初始条件为：，代入解出323.9968C则0.0016()81.2523.9968tWte0.00160.00160.001681.2524.0974,03()143.7586.8981,3481.2523.9968,4tttetWtetet最后得到不同阶段的微分方程是：6t(16)/100000dWbWdt（1）代入对应方程，求得现回答上述问题(6)57.48247Wkg（2）要满足体重不增，即所以161657.1256914bW因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal0.0016dWWdt0.00160.0016()(0)57.1526ttWtWee(cal)（3）由于每天不摄取能量，所以解得因此，n周后的体重为0.00167(7)57.1526nWne案例2在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年前？（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少）（1）问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词“速率”相当)8000dyydt（2）解微分方程的通解为：8000tyke由初始条件0ky，故有80000tyye由问题，当00.0624yy8000000.0624tyye，代入原方程8000ln0.062422400t（年）案例3、追线问题我缉私舰雷达发现，在其正西方距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。图2走私船与缉私舰的位置关系(c,0)xD(x,y)走私船R(0,at)缉私艇O几何关系atydxdyxxatytgdxdy即　如何消去时间t?1、求导：2、速度与路程的关系：3、分解得：4、将第2、3步代入第1步，可得模型dtdsbdxdtdxdtadxydx22211dtdtdsdydxdsdxbdx追线模型：模型的解：0)(,0)(1222cycydxdykdxydx0)(21cyxccxdxdypkk解的进一步讨论21111112kckcxkcxkcyktk（1）若ab，从而k1，由积分式得当x=0时，2221ababckcky即走私船被缉私舰捕捉前所花的时间为22abbcayt2221ababckcky所跑过的距离为（2）若a=b，即k=1，由积分式得cxcccxyln22122显然x不能取零值，即缉私舰不可能追上走私船。（3）若ab，即k1，显然缉私舰也不可能追上走私船。如图所示一个容量为2000m3的小湖的示意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详案例4湖泊污染问题的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：（1）湖水何时到达污染高峰；（2）何时污染程度可降至安全水平(0.05%)AXB图3小湖示意图湖泊污染问题分析设湖水在t时的污染程度为C(t)，即每立方米受污染的水中含有Cm3的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用分钟作为时间t的单位。在0t30的时间内，污染物流入湖中AXB小湖示意图的速率是Z/30(m3/min)，而排出湖外的污染物的速率是60×0.1C(m3/min)，因为每立方流走的水中含有Cm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变，所以可列方程：由初始条件：2000630dCZCdt(0)0C，可得微分方程的特解为62000()(1)/180tCtZe显然，t=30时，污染达到高峰，所以63042000(30)(1)/180(4.78210)CZeZ因污染源被截断，故微分方程变为6302000()(30)CtCe20006dCCdt它的特解为：湖水中含污染物的瞬时变化率=污染物流入量－污染物排出量当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出此时的t=T，即30(2000/6)ln(0.0005/(30))TC30(2000/6)ln(0.9564)TZ解得Z取不同值时的浓度C(30)和时间T3/Zm3(30)/Cm/minT51015200.002390.004780.007170.009565527389181014例：车间空气的清洁问题：已知一个车间体积为V立方米，其中有一台机器每分钟能产生r