第八节正弦定理和余弦定理应用举例

高三总复习人教A版·数学（理）第八节正弦定理和余弦定理应用举例高三总复习人教A版·数学（理）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．高三总复习人教A版·数学（理）1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如下图①)．上方下方高三总复习人教A版·数学（理）2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如上图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角，(如右图)(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．高三总复习人教A版·数学（理）4．坡度坡面与水平面所成的二面角的度数(如右图，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如右图，i为坡比)．高三总复习人教A版·数学（理）1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．答案：B高三总复习人教A版·数学（理）2．如右图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似．答案：A高三总复习人教A版·数学（理）3．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.解析：如右图所示，设塔高为hm.由题意及图可知：(200－h)·tan60°＝200tan60°，解得：h＝4003m.答案：4003高三总复习人教A版·数学（理）4．如右图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为__________海里．高三总复习人教A版·数学（理）解析：连结AC，则AC＝5，在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13.答案：13高三总复习人教A版·数学（理）5．某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，则此人还需走________千米才能到达A城．解析：如右图所示，设AD＝x，AC＝y.∵∠BAC＝20°＋40°＝60°，∴在△ACD中，有x2＋y2－2xycos60°＝212，即x2＋y2－xy＝441①.高三总复习人教A版·数学（理）而在△ABC中，(x＋20)2＋y2－2(x＋20)ycos60°＝312，即x2＋y2－xy＋40x－20y＝561②.②－①得y＝2x－6，代入①得x2－6x－135＝0，解得x＝15(千米)，即此人还需走15千米才能到达A城．答案：15高三总复习人教A版·数学（理）热点之一测量距离问题有关距离测量问题，主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两地测量，隔着某一障碍物两地测量等．由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．解题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷．高三总复习人教A版·数学（理）[例1]如右图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角∠ADC＝160°，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)高三总复习人教A版·数学（理）[思路探究]△ADB中用正弦定理→求AD→△ADC中用余弦定理→求AC[课堂记录]在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.∵∠ADC＝160°，∴∠ADB＝20°，∴∠DAB＝40°.∵BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，∴400sin40°＝ADsin120°，∴AD≈538.9.高三总复习人教A版·数学（理）在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160°，∴AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝538.92＋8002－2×538.9×800·cos160°≈1740653.8，∴AC≈1319.∴索道AC长约1319米．[思维拓展]解答过程中抓不住AD的桥梁作用导致无法求解，其原因是对题意不理解所致．高三总复习人教A版·数学（理）即时训练要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并且测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为________．高三总复习人教A版·数学（理）解析：△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22在△ABC中，由余弦定理得高三总复习人教A版·数学（理）AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋(6＋22)2－2·3·6＋22cos75°＝5∴AB＝5km答：A、B之间的距离为5km.答案：5km高三总复习人教A版·数学（理）热点之二测量高度问题测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．高三总复习人教A版·数学（理）[例2]如下图1所示，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为3m的球形工件吊起平放到高为6m的平台上，工地上有一个吊臂DF长为12m的吊车，吊车底座FG高1.5m．当物件与吊臂接触后，钢索CD的长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触．求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？高三总复习人教A版·数学（理）[思路探究]本题中吊车能把球形工件吊起的高度y取决于吊臂的张角θ，即∠DFA，因此用θ来表示图中各边之长，再由导数法求其最值．[课堂记录]设物件能被吊车吊起的高度为y，由上图2可知，y＝AB＋1.5＝AD－OD－OB＋1.5＝DFsinθ－3cosθ－3＋1.5＝12sinθ－3cosθ－3＋1.5，所以y′＝12cosθ－3sinθcos2θ，由y′＝0，高三总复习人教A版·数学（理）得12cosθ＝3sinθcos2θ，43＝tanθ(1＋tan2θ)，所以tanθ＝3，θ＝60°.当0°θ60°时，y′0，y单调递增，同理，当60°θ90°时，y′0，y单调递减，所以当θ＝60°时，y取得最大值．ymax＝12sinθ－3cosθ－3＋1.5＝33＋1.5≈6.7(m)，所以吊车能把球形工件吊起平放到高度小于等于6.7m的平台上．高三总复习人教A版·数学（理）即时训练某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.高三总复习人教A版·数学（理）在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DBsin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．高三总复习人教A版·数学（理）热点之三测量角度问题首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．高三总复习人教A版·数学（理）[例3]在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．高三总复习人教A版·数学（理）[思路探究]根据题意和图形及方位角等概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要哪些量．[课堂记录]设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103t海里，BD＝10t海里．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6海里．高三总复习人教A版·数学（理）又∵BCsinA＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝AC·sinABC＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，高三总复习人教A版·数学（理）∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又∵在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6.∴t＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．高三总复习人教A版·数学（理）即时训练(2010·合肥质检一)如右图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．高三总复习人教A版·数学（理）解析：由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BMsin90°－α＝msinα－β，解得BM＝mcosαsinα－β，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝mcosαcosβsinα－βn，所以α与β的关系满足mcosαcosβnsin(α－β)时船没有触礁危险．答案：mcosαcosβnsin(α－β)高三总复习人教A版·数学（理）在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷(理)就考查了这一点．该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点．同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向．高三总复习人教A版·数学（理）[例4](2009·海南、宁夏高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量．A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离．设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．高三总复习人教A版·数学（理）[解]方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如右图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理得AM＝dsinα2sinα1＋α2；第二步：计算AN.由正弦定理得AN＝dsinβ2sinβ2－β1；高三总复习人教A版·数学（理）第三步：计算MN.由余弦定理