力学竞赛漫谈

力学力学竞赛辅导漫谈陈连余南京市金陵中学2008.7.20.力学序1.物理竞赛辅导的目标2.物理竞赛辅导具体任务（1）竞赛所需的物理知识；（3）解决赛题的思路方法；（2）物理问题的思维方法；（4）提高选手的赛场情商。力学3.竞赛试题与常规考题之间的区别：（1）考查的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强。对策：熟悉各种原型问题。（2）在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。对策：识破题目的障眼法，找到原型。(3)题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论，有的是多个不同物理原型的综合。对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。力学1、运动学参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。矢量和标量。矢量的合成和分解。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。刚体的平动和绕定轴的转动。力学竞赛内容提要2、牛顿运动定律力学中常见的几种力牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。摩擦力。弹性力。胡克定律。万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。力学3、物体的平衡共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。物体平衡的种类。4、动量冲量。动量。动量定理。动量守恒定律。反冲运动及火箭。5、机械能功和功率。动能和动能定理。重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。功能原理。机械能守恒定律。碰撞。力学7、振动简揩振动。振幅。频率和周期。位相。振动的图象。参考圆。振动的速度和加速度。由动力学方程确定简谐振动的频率。阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。8、波和声横波和纵波。波长、频率和波速的关系。波的图象。波的干涉和衍射（定性）。声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。乐音和噪声。6、流体静力学静止流体中的压强。浮力。力学话题1刚体质心的确定：（1）定义法（坐标法）Cm=∑mixC=∑mixi/mCC的位置定义在坐标(x,y,z)yC=∑miyi/mCzC=∑mixi/mCir将质点组各质点参量记为mi、，质点组的质心记为C，则力学例1如图所示，一根竖直悬挂着的无限长细线上等距离地固定着n个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为a。已知最上端小球与悬点之间距离也为a，它的质量为m，其余各球的质量依次为2m、3m、……，一直到nm。求整个体系的质心位置到天花板的距离。(2n+1)a/3力学（2）力矩法●●ORR/2例2如图所示，一个质量均匀、半径为R、质量密度为σ的薄板。现沿着一条半径挖去其中半径为R/2的圆形薄板，求剩余薄板的质心位置。质心在原来圆心、挖去薄板圆心所在的直径上，在圆心O的另一侧，与O点距离为R/6.力学例3如图所示，一根细长轻质硬棒上等距离地固定着n个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为a。已知最左端小球与左端点之间距离也为a，它的质量为m，其余各球的质量依次为2m、3m、……，一直到nm。求整个体系的质心位置到左端点的距离。(2n+1)a/3力学（3）巴普斯定理1.内容：一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。2.讨论：（1）若面物体上各质点以相同速度沿着一条与物体平面垂直的直线运动时，在空间扫过的体积是柱体。定理显然成立。（2）若面物体上各质点速度不等，质心将沿曲线运动，平面物体在空间扫出一个不规则体积。定理可证成立。力学例4一直角三角形板质量分布均匀，两直角边长度分别为a和b，求质心位置。ab已知结论：质心将位于三中线交点。验证：设质心位置坐标为（x,y)令直角三角形绕直角边a旋转一周，形成圆锥。abxab212312x=b/3同理可得，y=a/3.ab●xy思考：半径为R、均匀半圆板的质心位置。34Rx设质心离a边x，则力学例5确定半径为R、质量分布均匀半圆形金属线环的质心位置。●A0B●x解析：以AB为轴将线环旋转360°，得一球面，得RxR242Rx2即：扫过的曲面面积＝质心在运动中走过的路程×曲线长度。思考：1/4周长的线环呢？Ryx2力学话题2.静力学问题解题思路。受力分析；写出静力学平衡方程：x方向上的平衡方程；y方向上的平衡方程；力矩平衡方程。确定研究对象；↓↓力学在平衡力的作用下，物体保持匀速直线运动或静止状态，因此一个平衡力系统与物体不受力的情况相同，即合外力和合外力矩为零。F=ΣFi=0M=ΣMi=0对于某个力的力矩大小与支点或转轴（或矩心）有关，因为力矩与力臂成正比，但力矩的平衡条件与支点或转轴无关。Fx=ΣFix=0Fy=ΣFiy=0Fz=Σfiz=0F=ΣFi=0Mx=ΣMix=0My=ΣMiy=0Mz=ΣMiz=0M=ΣMi=0平衡条件的解析式为力学例6一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角θ。关键：判断临界情况下，A、B两端同时达到临界，A端达到B端未达到，或是B端达到而A端尚未达到？结论：梯子与地面成最小夹角θ而平衡时，A、B端同时达到最大静摩擦力。N1N2f1f2mg水平：N2＝f1竖直：N1＋f2＝mg而f1＝μ1N1f2＝μ2N2设梯子长度为l，以B为支点，则mg（l/2)cosθ+μ1N1lsinθ=N1lcosθ12121arctan力学例7三个完全相同的圆柱体，如图所示，叠放在水平桌面上，将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ，若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？GNGNNffffNA对C：GfN3A的水平方向，有2123NffA的竖直方向，有2123fNGNA解得324,21,23GfGNGNA321,32610可以证明，各接触点的摩擦力大小相等。力学话题3.虚功原理1.虚位移质点或质点系在给定瞬时约束系统许可的微小位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。2.虚功力在虚位移上所做的元功。记为rδFδW3.虚功原理质点或质点系在平衡状态下，所有力在任何虚位移上的虚功之和为零。0rδFin1i静力学的普遍原理虚位移与实位移力学例8重为W的6根均匀刚性棒光滑绞合成正六变形ABCDEF,顶边AB棒水平固定在天花板上，问在底边DE的中点加一个多大的竖直方向的力F，可维持正六边形的平衡？解析：六根棒的重心在正六边形的几何中心。设底边DE在外力F作用下缓慢地上升很小的位移δx，则其重心升高δx/2。由虚功原理有F·δx=6W·δx/2故F＝3W力学例9如图所示，一个半径为R的四分之一光滑圆柱面固定在水平桌面上，柱面上有一条单位长度质量为ρ的均匀铁链。铁链因A端受到水平拉力F的作用而平衡，B刚好与桌面接触，求水平拉力F的大小。设在A端施加一个水平力F，且有虚位移δr。则有0RgrrFgRFFAB力学话题4非惯性系和惯性力牛顿运动定律只在惯性系中成立。相对惯性系做加速平动和加速转动的参照系就是非惯性系。如果非惯性系平动加速度为a，那么只要认为非惯性系中所有物体都受到一个大小为ma、方向与a相反的惯性力，牛顿定律同样适用。力学例10一个质量为M、斜面倾角为θ的劈A放在水平地面上，斜面上放上一块质量为m的滑块B。现将系统由静止释放，求释放后劈A对物块B的压力、劈A相对地面的加速度各是多少？（不计一切摩擦）ABθNmgaANsinθ=MaA,(1)N对A,2sincossinmMmgaA2sincosmMMmgN解之得aBxaByNsinθ=maBx,(2)mg－Ncosθ=maBy,(3)aBxaByaAθaBy=(aBx+aA)tanθ(4)对B,A、B加速度关联,解析方法1：－牵连加速度力学ABθNmgaAF=maANsinθ=MaA,(1)N对A,以A为参照系,对B物引入惯性力F=maA，在以A的坐标系中，物块B沿斜面加速下滑，垂直斜面方向加速度为零。（在地面参考系中并非如此。）N＋Fsinθ=mgcosθ,(2)F=maA,(3)2sincossinmMmgaA2sincosmMMmgN解之得解析方法2：－引入惯性力力学sincos212aaaaayx假设m相对M的加速度为a2，方向沿斜面向下。sincos)cos(sin212maNmgaamN0cossin1NMgNMaN地2221sinsin)(sincossinmMgMmamMmga解析方法3：Mma1a2MgN地N’M：mgNm：axay－加速度还原法力学话题5多物追及和相遇问题【源题】(全俄中学生物理奥林匹克竞赛题)两两相距均为l的三个质点A、B、C，同时分别以相同的匀速率v运动，运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置、B始终指着当时C所在的位置、C始终指着当时A所在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？BC2AClA1A2B1B2C1l2l1解析：根据题意，三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻三个质点的位置分别在正三角形的三个顶点上，但是这个正三角形的边长不断缩小，如图所示。现把从开始到追上的时间t分成n个微小时间间隔△t（△t→0），在每个微小时间间隔内，质点的运动可以近似为直线运动。于是，第一个末三者的位置A1、B1、C1如图所示。这样可依次作出以后每经△t，以三个质点为顶点组成的正三角形A2B2C2、A3B3C3、……设每个正三角形的边长依次为l1、l2、l3……ln。显然，当ln→0时，三个质点相遇。力学解法一：由前面分析，结合小量近似有：.2360cos0111tvlBBAAll.2322312tvltvll.2332323tvltvll…….23tvnlln.23nlltvn以上各式中，△t→0，n→∞，并有n△t=t，ln→0（三人相遇）。所以，三个质点一起运动到目标于原正三角形ABC的中心，所需的时间为.32vltntBC2AClA1A2B1B2C1l2l1力学解法二：设t时刻三角形边长为x，经极短时间△t后边长变为x′。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得.3360cos))((2)()(222022/2tvtxvxtvxtvtvxtvx在△t→0时，可略去二阶小量△t2项，因此txvxx32/2)231(3132/xtvxtxvxtxvxx.23/tvxx这表明等边三角形边长的收缩率为3v/2。从初始边长l缩短到0需时间为vlvlt3223BC2AClA1A2B1B2C1l2l1力学解法三：因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置，所以此时质点A速度方向与AO连线的夹角恒为30°（O为中心点），即A的运动速度沿AO方向的分量vcos30°。质点B、C也是如此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方向条件如初，所以质点A、B、C的运动速度在质点与中心O连线方向的分量仍为vcos30°，且为定值。最终三质点相遇在O点，所以每个质点在质点与中心O的连线方向上运动了2lsin60°/3。.3230cos60sin32vlvltBC2AClA1A2B1B2C1l2l1·O所以根据分运动与和运动的等时性，相遇时间力学解法四：以B为参照系，在两者连线方向上A对B的相对速率恒为v+vcos60°。最终追及，相对运动距离为l，所用时间为vlvlt3223演变1：如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为l，结果如何？