力学竞赛辅导材料力学

一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥而1个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。•根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m。为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。请你分析一下：1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？（1）本问题与力学中的什么内容有关系？关键词：梁的弯曲、弯矩。（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？该问题简化为下图，设人从B向A走去，载荷P与B点距离为x，AB间的距离为L。易求出支座B点的约束力为RB=P(L-x)/L则AB间最大弯矩为M(x)=P(L-x)/L根据允许最大弯矩为[M]600Nm，有P(L-x)x/L≤M代入数据，解出x≤1，x≥3例1.图示为双杠之一梁,每一梁由两根立柱支撑,设两柱之间的跨度为l;每一梁具有两个外伸段,设每一外伸段的长度均为a,假定运动员在双杠上作动作时在每个梁上只有一个作用点,力的作用线垂直于横梁.试决定在双杠的设计中,l与a的长度的最佳比值,(即运动员在上运动时,其上的弯矩值的变化最小)设梁与立柱间的连接为铰接.(第二届题)aal解:当运动员在中点时,杠梁的最有最大弯矩为4Pl当运动员在杠梁的两端时,杠梁的立柱处根部最有最大弯矩为Pa令PaPl4则有4la例2.一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上.钢筋单位长度的重量为q,抗弯刚度为EI.钢筋的一端伸出桌边B的长度为a.试求钢筋自由端A的挠度.ABa(第五届题)0D0DMDBADqBAax解:考虑先满足MD=0计算模型如下图为满足D=0,则令06242213EIxqaEIqxDax2ax2于是有:EIqaEIqaaEIaqaaEIaqyA24322832242442213例3.求如下连续梁铰链处转角的间断值.(第三届题)aaaFCAB对于AC梁的C点EIFa22左EIFaaEIFaEIFayC6523323对于BC梁的C点EIFaayC652右右左C例4.图示所示传感器,AB和CD为铜片,其厚度为h,宽为b,长为l,材料的弹性模量为E,它们在自由端与刚性杆BD固接.(1)试求截面K–K的轴力和弯矩;(2)如果采用电测法测量截面K–K的轴力和弯矩,试确定贴片与接线的方案(选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式.KKFb3lhABDCla解:(1)由整体平衡及两铜片相同的弯曲变形(不考虑轴向变化),可推得A、C处水平力均等于F/2.取AB片分析受力BMABAFBFAM2F2FBMABBF2F2FlMMBA又0B0222EIlMEIlBF4FlMB4FlMA(第五届力学竞赛试题)4FlMA2FKMAKAFKFAM2F3l0Am0432FllFMK12FlMK整体分析受力AMbAFKKF3lhABDCla2F2FCFCM同理可分析DC片得知4FlMMAC0Cm0bFMMaFAACblaFFA2202bFFlaFAblaFFK22例4.图示所示传感器,AB和CD为铜片,其厚度为h,宽为b,长为l,材料的弹性模量为E,它们在自由端与刚性杆BD固接.(1)试求截面K–K的轴力和弯矩;(2)如果采用电测法测量截面K–K的轴力和弯矩,试确定贴片与接线的方案(选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式.12FlMK4FlMBblaFFB22blaFFK22BMABBF2FKK3l(2)采用全桥测量电路3R4Ra.测弯矩电路1R2RKKABCD1R2R3R4RACUBDU贴片如图TMF1TMF2T434321ra.测弯矩电路3R4R1R2RKKA3lKMKKF2FTMF1TMF2T43ABCD1R2R3R4RACUBDUMr24321262rMKKMEEbhMWM122bhEMrK(考虑两侧弯曲应力和拉伸应力符号)b.测轴力电路ABCD1R3R2R4RACUBDUFr242312rFKKFEEbhFAF2bhEFrKpppp例5.一半径为a、长为l的弹性圆轴,其弹性模量为E,泊松比为,现将轴套在一刚性的厚管内,轴和管之间有初始间隙,设轴受集中力F作用,当F=F1时轴与刚性壁恰好接触,求F1的值;当FF1后,管壁和轴之间有压力,记f为摩擦系数,这时轴能靠摩擦力来承受扭矩,当扭矩规定为M时,求对应的F值.F由胡克定律zrrE1211aFAFz在轴与管间由间隙到恰好接触时0r2111aFEEzr21aEaFarEaF1当EaF轴周边受径向压力rr(第三届力学竞赛试题)当EaF轴周边受径向压力pppprr由于圆筒是刚性的,则圆轴的径向和环向不再改变由胡克定律01zrrE01zrE上式中aEaFaEaFAFz22上两式联立求解:zr1由均匀应力及平衡条件可知zrp1例5.一半径为a、长为l的弹性圆轴,其弹性模量为E,泊松比为,现将轴套在一刚性的厚管内,轴和管之间有初始间隙,设轴受集中力F作用,当F=F1时轴与刚性壁恰好接触,求F1的值;当FF1后,管壁和轴之间有压力,记f为摩擦系数,这时轴能靠摩擦力来承受扭矩,当扭矩规定为M时,求对应的F值.FpppprraEaFaEaFAFz22zrp1若此时轴上有扭矩M,则扭矩M与轴承受的摩擦力偶矩保持平衡zlfalpfaM12222lpfadApfafapdAMDD22aEaFlfa2212EalfMF21121FlfM例6.两种材料组成的矩形截面梁,其上部材料为I,截面为A1,弹性模量为E1;下部材料为II.横截面为A2,弹性模量为E2,且E2E1,如图示.假设平面假定依然成立,试推导在线弹性范围内,纯弯曲时横截面上正应力的计算公式.IIIMM解几何方程:yxy物理方程:1A1E2E2A11Exx22Exx静力学关系:横截面上有02121dAdAFAxAxN02121dAyEdAyEAA02121dAyEdAyEAA02121dAyEdAyEAA02211zzSESE—中性轴方程对于同一材料0dAyEA0Cy—中性轴方程(过截面形心)IIIMM变化图变化图MdAyydAMAxAx2121dAyEdAyEMAA2122212121zzIEIEMzdAyIAz112A1对中性轴的惯性矩dAyIAz222A2对中性轴的惯性矩21211zzIEIEM212111zzxIEIEyME由yx11Exx22Exx212122zzxIEIEyME例7.在半径为R的刚性圆柱面上,放一平直的钢板BB,两端作用对称载荷F.钢板的弹性模量为E,其厚度为h,宽度为b,在力F的作用下处于弹性小变形状态,且Rh.求:(1)钢板在开始接触圆柱面A点附近时的载荷F0;(2)当FF0,钢板与圆柱面CAC接触时,求B、C两点的挠度差WBC与载荷F的关系.hbABBFFllRABBFFllR解:(1)钢板A处开始有变形,由REIM11REIlF0RlEbhRlEIF1230(2)CCFFx对于C处EIFxR1(B)FBCxWRxlEIFxxRxlWBC33EIFxxEI)xl(FWBC332ABBFFllRCCFFx(B)EIFxR1EIFxxEI)xl(FWBC332FREIx32622233222232216123232RFhbEFRlEbhRFIEFRlEIEIFxEIFlxWBC例8.如图示,为传递扭矩T,将一实心圆轴与一空心圆轴以紧配合的方式连接在一起.设两轴间均匀分布配合压强p,摩擦系数为,实心轴直径为d,空心轴的外径为D,连接段长度为L,两轴的材料相同.求:(1)两轴在连接段全部发生相对滑动时的临界扭矩值Tcr;(2)设初始内外轴扭矩均为零,当传递的扭矩从零增加到T=2/3Tcr时,绘制内轴在连接段L的扭矩图.(假定材料力学关于圆轴扭转的公式全部成立)(第四届力学竞赛题)TTL解:(1)由题意可有:20dpdxdTLcrLpd221(2)当扭矩TTcr,两轴在连接段的中部某一段不会产生相对滑动.取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力TLTmTL1L2L2T2TmddITdATP22ddITDdp22320441DdT取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力22pdm—摩擦力偶集度T2:二轴无相对滑动时空心轴截面上的扭矩值设二轴无相对滑动时实心轴截面上的扭矩值为T1显然,4421DTdTTT46441332DLpdDdTTcr由所给的条件可得:考虑受力体的平衡21LLmT考虑受力体的平衡21LLmTmTL1L2L2T2Tm212232LLpdTcr212223LLpdpLd13221LLL考虑实心轴L1段受力T1Tm1L11TmLT461332DLpdmLTcr46441332DLpdDdTTcrLDpdLpdLpd46122323LDdDL444132LDdLLL44123232mTL1L2L2T2TmT1Tm1LTTL46441332DLpdDdTTcr实心轴扭矩图crT321T1L2L3L空心轴扭矩图1L2L3LcrT322T如果T=TcrLpd221实心轴扭矩图空心轴扭矩图crTcrT442132DdTTcr例9.如图示,曲杆AB的轴线是半径为R的四分之一圆弧,杆的横截面是直径为d的实心圆,dR,杆的A端固结,B端自由,并在B端作用有垂直于杆轴线所在平面的集中力F.已知材料的拉压弹性模量为E,剪切弹性模量为G,许用拉应力为[].(1)试按第三强度理论,求许用载荷[F](2)求在载荷F的作用下,自由端绕轴线的转角B.(第四届力学竞赛题)ABF解:ABRC(1)取BC段曲梁分析平衡受力0ZFFz0xmsinFRMx0ymcosFRTy1yTxMsFFBACxyzR当0900时,A处截面为危险截面FRMxFRTy2231yxrTMWFRd2323RdF6423BARC1TsinFRMxcosFRTy1yTxMsFFBACxyzR(2)忽略剪力引起的变形在B端沿轴向加一单位力偶T=1BxyzRA1TyTxMyTxM由平衡条件:cosTysinMx由莫尔积分dsTTGIdsMME