力学量与算符知识点小结

第四章力学量与算符知识点小结QuantumMechanics力学量与算符算符及其运算规则量子力学中力学量的算符表达常用力学量的算符相关基本定理算符及其运算规则量子力学中，为什么要引入算符？微观粒子的二象性波动性波函数微观粒子的状态微观粒子的力学量不同于经典粒子的力学量，经典粒子在任何状态下力学量都有确定的值，微观粒子由于有波粒二象性，力学量有很大的不同，因此采用算符来表示及求解。线性算符ˆFUV11111122ˆˆˆ()FcccFcF运算规律：ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆˆˆABABABABABABAA不存在交叉相，不违背态叠加原理对易关系ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆ,0ˆˆ,0ABABBAABAB下面是几个常见的对易关系满足的恒等式：ˆˆˆˆ,,ˆˆˆˆˆˆˆ,,,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,ABBAABCABACABCBACABCABCABCACB厄密算符厄密共轭算符：ˆˆˆˆ*()ˆˆ()***AdAdAAAdAd任意两个波函数，积分范围整个空间两个厄密算符之和仍为厄密算符两个厄密算符之积不一定是厄密算符（除非它们对易）例：指出下列算符哪个是厄米算符，说明理由22,,4dddidxdxdx***dddxdxdxdx解：**()()dddxdxdxdx*()ddxdxddx∴不是厄米算符量子力学中力学量的算符表达算符对量子态进行变化，变成另一量子态每个力学量对应一个算符，由算符得到力学量如何写出力学量算符？基本假定3ˆˆˆ(,)(,)(,)FrpFrpFri这个值就是算符F的可测值，那一定是实数ˆFf当体系处于算符F的本征态时，力学量F有确定的值，这个值就是算符F的本征值。什么样的算符有这样的性质？厄密算符常用力学量的算符动量算符ˆˆˆˆxyzpipixpipiyzˆxxxpxppp求解：/12xxipxpe本征函数ˆxp角动量算符ˆˆˆˆˆˆxyzijkLrpxyzpppˆˆˆˆˆˆˆˆˆxzyyxzzyxLypzpLzpxpLxpyp2222211ˆ[(sin)]sinsinL22ˆ(1)lmlmLYllYˆzlmlmLYmY共同的本征态力学量的平均值微观体系不处在力学量算符的本征态上nnnC*nnCd221nnnCC粒子处于该本征态上的几率，力学量取fn的几率***ˆˆFdFdFd*1d2nnnnnnCFCf相关基本定理厄密算符的本征值是实数厄密算符的属于不同本征值的本征函数正交ˆˆ0iiijjjijFFdˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]xyzyzxzxyLLiLLLiLLLiL2ˆˆ[,]0,,iLLixyz若两个算符对易，则它们有共同的本征态逆定理也成立若222ˆˆˆˆ[,]01ˆˆ()()4FGikkFGk222xxyxpmLL