Lecture 10-01

金融计量学张成思第10章协整与误差修正模型10.1协整与误差修正模型的基本定义10.2Engle-Granger协整分析方法10.3向量ADF模型与协整分析10.4向量误差修正模型(VECM)10.5确定性趋势与协整分析10.6Johansen协整分析方法10.7VECM的估计与统计推断10.8Johansen协整分析方法的应用10.1协整与误差修正模型的基本概念协整分析是基于非平稳序列基础之上的，而利用非平稳序列进行回归，经常会出现伪回归现象。而另外一种情况却是更具有应用价值的协整关系。10.1.1伪回归对于经典线性回归模型，如：（10.1）除了对随机扰动项的独立一致性分布要求之外，一般都要求回归变量和为平稳时间序列。tttycxutytx伪回归（spuriousregression），就是指变量之间本来并不存在真正的关系，而是由于变量都是趋势（非平稳）序列造成的虚假显著性关系。在介绍伪回归概念的时候，一般都使用非平稳序列回归来进行演示。我们这里使用计算机模拟生成两个观测值为241个的带截距项的随机游走序列:(10.2)其中：表示服从正态一致性分布、均值为0、方差为1的随机扰动项。111.5,(0,1)1.2,(0,1)ttttttttyyuuNIDxxvvNID::(0,1)tuNID:图10-1模型（10.2）随机生成的带截距项的随机游走过程050100150200250300350y(t)=1.5+y(t-1)+u(t)x(t)=1.2+x(t-1)+v(t)表10-1伪回归估计结果DependentVariable:yMethod:LeastSquaresIncludedobservations:241CoefficientStd.Errort-StatisticProb.X1.3673660.007110192.31420.0000C-18.692111.093746-17.089990.0000R-squared0.993579Meandependentvar166.9619AdjustedR-squared0.993553S.D.dependentvar99.40280S.E.ofregression7.981677Akaikeinfocriterion7.000438Sumsquaredresid15226.01Schwarzcriterion7.029358Loglikelihood-841.5528Hannan-Quinncriter.7.012089F-statistic36984.75Durbin-Watsonstat0.045134Prob(F-statistic)0.000000随机生成的这两个变量，虽然并没有什么经济理论能够说明它们之间存在一定的联系，但回归估计结果却显示，模型中的系数都具有统计显著性，说明二者存在显著的线性关系。并且，表9-1中的回归结果还显示，模型拟合得几近完美，高达0.99，而DW统计量又非常小，只有0.045！这是典型的伪回归特征。2R但是，并不是所有非平稳序列之间都没有一定的联系，有一种特殊情况，即非平稳时间序列的线性组合是平稳序列，这个时候，我们说这些非平稳时间序列之间存在长期的均衡关系，这就是协整关系。协整关系与伪回归不同，因为协整刻画了确实存在内在联系的经济变量之间的长期关系。10.1.2协整的基本概念对于多个非平稳时间序列，有一种特殊的情况，就是由这几个非平稳时间序列变量的线性组合形成的变量，是平稳的序列。在这种情况下，我们说这些非平稳时间序列存在协整关系。假定我们研究两个时间序列变量，分别为和，而且这两个变量都是一阶单整过程，即I(1)过程。如果和的一个线性组合，如，构成了一个平稳的时间序列，那么我们说和具有协整关系，并且协整向量为。txtytxtytttzxytxty(1,)协整定义的更一般的陈述形式：如果两个或多个一阶单整变量的线性组合是平稳时间序列，那么这些变量存在协整关系，而对应的刻画这种关系的系数向量称为协整向量。如果m个变量存在协整关系，那么它们之间的长期均衡关系就可以表示成：(10.7)或者写成矩阵的形式，即：(10.8)其中：如果出现偏离这种长期关系时，就会出现所谓的“均衡误差”，即：(10.9)11220ttmmtxxx＝0tX1212(,,,),(,,,)mtttmtXxxx。tteX10.1.3误差修正模型(10.11)模型系统(10.11)就是最简单形式的误差修正模型。因为ECM刻画的是系统内变量的动态变化（差分形式）对出现偏离均衡状态的误差的反应，所以在ECM模型中，变量以差分形式出现。11011112202112ttttttxcexce如果考虑到各个变量的滞后项对当期值的影响，模型(10.11)对应的更一般的ECM形式是：（10.12）其中的滞后算子多项式定义为：和11011111111112202112112112()()()()ttttttttttxceLxLxxceLxLx－－－－2111112131()ppLLLL2111112131()mmLLLL对于n个非平稳序列的误差修正模型，可以直观地进行拓展。如果将n个变量写成矩阵的形式，即：（10.13）类似地，将涉及的扰动项和系数等均表示成矩阵的形式，那么，向量形式的误差修正模型可以写成：（10.14）12()tttntXxxx011()ttttXCeLX10.2Engle-Granger协整分析方法10.2.1Engle-Granger协整分析的步骤为方便理解，以两个变量为例。第1步：变量的（非）平稳性检验。使用单位根检验方法检验研究的变量是否为非平稳序列。注意，协整关系的前提是分析具有相同阶数的单整过程变量的线性组合关系。第2步：假设第1步中的检验结果表明两个变量为同阶的非平稳序列，则对这两个变量进行回归，并且获得OLS回归的系数估计值，并且保存残差序列。ˆte第3步：利用特殊的检验临界值来检验残差序列是否为平稳序列。这一步是对上一步保存的残差序列进行单位根检验。表10-5Engle-Granger协整检验中残差序列单位根检验临界值nT1％5％10％250－4.123－3.461－3.130100－4.008－3.398－3.087200－3.954－3.368－3.067500－3.921－3.350－3.054无穷大－3.90－3.34－3.04350－4.592－3.915－3.578100－4.441－3.828－3.514200－4.368－3.785－3.483500－4.326－3.760－3.464无穷大－4.29－3.74－3.45450－5.017－4.324－3.979100－4.827－4.210－3.895200－4.737－4.154－3.853500－4.684－4.122－3.828无穷大－4.64－4.10－3.81550－5.416－4.700－4.348100－5.184－4.557－4.240200－5.070－4.487－4.186500－5.003－4.446－4.154无穷大－4.96－4.42－4.13第4步：设立并估计误差修正模型。在第3步的基础上，如果判定了协整关系的存在，则设立并估计下面的ECM模型：（10.18）其中：11011111111112202112112112ˆ()()ˆ()()ttttttttttxceLxLxxceLxLx－－－－11121ˆˆˆtttexcx第5步：诊断检验并解释实证结果。在协整检验和ECM估计滞后，最后就需要运用相关的诊断检验进一步验证误差修正模型是否完备，如各个滞后项的滞后期数是否合理等。同时，研究人员要对整个协整分析的结果进行综合解释，如果有可能，最好给出含义分析。图10-4Engle-Granger协整分析法流程图如果以下条件满足，则向量为具有(d,b)阶的协整向量，记做。这些条件是：1）所有组成元素具有相同的大于0的单整阶数d0。2）存在一协整向量，使得线性组合具有单整性质。12(,,,)tttmtXxxx(,)tXCIdbtX12(,,,)m()dbtX10.2.2Engle-Granger协整分析方法的应用这里，我们研究一个实际的例子，就是国际金融学中非常著名的购买力平价理论。假设我们研究的母国和外国分别为美国和英国，我们利用美国和英国的月度物价指数和美元/英镑的汇率数据，样本区间为1988M01-2007M03。图10-5美元/英镑汇率和各自国家的消费者价格指数（自然对数）0.450.500.550.600.650.700.7519901995200020052010nex4.04.24.44.64.85.05.25.419901995200020052010PUKPUS长期购买力平价理论（Long-runPPP）要求真实汇率为平稳时间序列，而真实汇率可以写成：(10.20)现在，我们可以利用Engle-Granger协整分析法检验Long-runPPP是否成立。各个变量均为自然对数形式，所以可以构造一个序列，用来表示英国物价的美元价值。trexUKUSttttrexnexppUKtttfnexp然后，考查下列均衡关系：(10.21)如果能验证，并且为平稳时间序列，则问题得到验证。可以看出，这是一个典型的长期均衡问题，即协整关系问题。根据设计，我们构造了序列，构造出来的变量图示描绘在图10-6中。1UStttfcp10,1ctUKtttfnexp图10-6英国物价的美元价值nex变量时序图0.450.500.550.600.650.700.7519901995200020052010nex接下来，我们利用Engle-Granger协整分析方法，以回归方程（10.21）为基础考查了此例中的协整关系问题。第一，对和进行了ADF单位根检验，结果归纳在表10-6中。从单位根检验的结果可以看到，两个变量分别进行的单位根检验统计量对应的p-值都远大于10％，所以可以判断者两个变量为I(1)序列。tfUStp表10-6变量和的ADF单位根检验结果tfUStp第二，我们运用OLS对模型(10.21)进行回归估计，并且将回归估计的结果报告在表10-7中，同时将获得的残差序列保持下来，其时序图描绘在图10-7中。表10-7模型（10.21）的OLS回归估计结果图10-7模型(10.21)回归后的残差序列-0.16-0.12-0.08-0.040.000.040.080.1219901995200020052010Residual第三，我们对残差序列进行ADF单位根检验，并使用表10-5中归纳的Engle-Granger协整分析中特殊的ADF单位根检验临界值，来判断残差序列是否具有单位根。表10-8模型(10.21)对应的残差项单位根检验结果10.3向量ADF模型与协整分析10.3.1向量形式的ADF模型对于向量形式的自回归模型，即VAR(p)模型：（10.25）VAR模型系统是否稳定，由特征方程等式（10.26）的根决定。()ttLYC()0zVAR模型系统内变量的平稳特性与特征方程的根紧密相关：①如果的所有根都落在单位圆外则VAR模型系统内的所有变量均为平稳序列，即I(0)。②如果的一个根等于1，而其他所有根都落在单位圆外，那么VAR模型系统内的所有变量均为非平稳序列，即I(1)。()0z()0z含有n个变量的VAR(p)模型可以写成向量形式的ADF模型，即：（10.27）其中：（10.28）*1()tttLYCY11*1(1)()pinipiniipijjiLL