21随机过程的基本概念和统计特性

2.1随机过程的基本概念和统计特性2.2平稳随机过程2.3高斯随机过程2.4随机过程通过线性系统2.5窄带随机过程2.6正弦波加窄带高斯噪声第2章随机信号分析返回主目录第2章随机过程2.1随机过程的基本概念和统计特性2.1.1随机过程信号参数变化过程分成为两类。1）、信号参数变化过程具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为确定性过程。例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。2）、信号参数变化过程没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为随机过程。下面我们给出一个例子：在相同的工作环境和测试条件下记录n台性能完全相同的接收机输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。随机过程的定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形，称为样本函数或实现，记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。ξ(t)代表随机过程，表示无穷多个样本函数的总体，如图2-1所示。图2-1样本函数的总体x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk上例中接收机的输出噪声波形也可用图2-1表示：把对接收机输出噪声波形的观测看作是进行一次随机试验，每次试验之后，ξ(t)取图中所示的样本空间中的某一样本函数，至于是空间中哪一个样本，在进行观测前是无法预知的，这正是随机过程随机性的具体表现。其基本特征体现在两个方面：1）、它是一个时间函数；2）、在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机变量。随机过程是依赖时间参数的一族随机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。在以下研究随机过程时正是利用了这两个特点。2.1.2随机过程的统计特性由于随机过程具有两重性，可以用与描述随机变量相似的方法，来描述它的统计特性。设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率P［ξ(t1)≤x1］，简记为F1(x1,t1)即F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］(2.1-1)上式称为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有),(),(1111111txfxtxF则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。任给两个时刻t1,t2，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1),ξ(t2)}，F2(x1,x2;t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2｝(2.1-3)称为随机过程ξ(t)的二维分布函数。概率密度函数是概率分布函数的导数);,();,(2121212,12122ttxxfxxttxxF则称f2(x1,x2;t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。同理，任给t1,t2,…,tn，则ξ(t)的n维分布定义为：Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(tn)≤xn｝)...,,;...,,(...)...,...;,(2121212,1212nnnnntttxxxfxxxtttxxF如果存在则称fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)为ξ(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。2.1.3随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。1.数学期望设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则ξ(t1)的数学期望为1111),()]([dxtxfxtE注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)，于是a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，即均值。2.方差（2.2—3）dxtxfxtEta),()]([)(12)]([)()]([tEtEtD221222)]([),()]([)]([)]([tadxtxfxtEtEtD（2.2—4）D［ξ(t)］常记为σ2(t)。方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。3.相关函数衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。协方差函数定义为B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)—a(t1)］［ξ(t2)—a(t2)］｝=f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2)]()][([2211taxtax式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。相关函数定义为R(t1,t2)=212121221),;,(dxdxttxxfxx)]()([21ttE（2.2—6）二者关系为B(t1,t2)=R(t1,t2)—a(t1)a(t2)(2.2—7)1）、若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。2）、若t2＞t1，并令t2=t1+τ，则R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+τ)。3）、若t2=t1，R（0）=E[ξ2（t)]——均方值以上分析表明：相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔τ,即相关函数是t1和τ的函数。协方差和相关函数可以描述随机过程随时间的变化程度——越平缓越大，反之越小。由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为：Bξη(t1,t2)=E｛［ξ(t1)—aξ(t1)］［η(t2)—aη(t2)］｝而互相关函数定义为：Rξη(t1,t2)=E［ξ(t1)η(t2)］2.22.2.1定义平稳随机过程是指它的统计特性不随时间的推移而变化。设随机过程{ξ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ为任意值，且x1,x2,…,xn∈R，有fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)(2.3-1)则称ξ(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔τ有关，即有f1(x1,t1)=f1(x1)和f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)以上两式可由式（2.3-1）分别令n=1和n=2,并取τ=-t1得证。于是，平稳随机过程ξ(t)的均值adxxfxtE1111),()]([为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程ξ(t)的自相关函数:R(t1,t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=）（Rdxdxxxfxx2121221);,(仅是时间间隔τ=t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。以上表明，平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔τ有关，即R(t1,t1+τ)=R(τ)注意到式（2.3-1）定义的平稳随机过程对于一切n都成立，这在实际应用上很复杂。但仅仅由一个随机过程的均值是常数，自相关函数是τ的函数还不能充分说明它符合平稳条件，为此引入另一种平稳随机过程的定义：设有一个二阶随机过程ξ(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。相应地，称按式（2.3-1）定义的过程为狭义平稳随机过程。因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、二维概率密度有关的数字特征，所以一个狭义平稳随机过程只要它的均方值E［ξ2(t)］有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。2.2.2各态历经性平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa如果平稳随机过程使下式成立：aa)()(RR则称该平稳随机过程具有各态历经性。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。意义：无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。2.2.3对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］具有下列主要性质：（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S［ξ(t)的平均功率］（2）R(∞)=E2［ξ(t)］［ξ(t)的直流功率］这里利用了当τ→∞时，ξ(t)与ξ(t+τ)没有依赖关系，即统计独立，且认为ξ(t)中不含周期分量。（3）R(τ)=R(-τ)［τ的偶函数］这一点可由定义式（2.2-6）得证。（4）|R(τ)|≤R(0)［R(τ)的上界］（5）R(0)-R(∞)=σ2［方差，ξ(t)的交流功率］当均值为0时，有R(0)=σ2。2.2.41、平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(ω)随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为式中，FT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)（见图2-2）所对应的频谱函数。我们可以把f(t)看成是平稳随机过程ξ(t)中的任一实现，因