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1、三角形ABC中,AD为中线,P为AD上任意一点,过p的直线交AB于M.交ac于N,若AN=AM，求证PM/PN=AC/AB证明：过P点作BC的平行线交AB,AC分别于M',N'点；再分别过M,M'两点分别作AC的平行线分别交AD(或延长线）于P',A'两点。由M'N'平行BC得：AC/AN'=AB/AM',即AC/AB=AN'/AM'.且M'P=N'P由三角形AN'P全等三角形A'M'P得：M'A'=AN'.所以，AC/AB=A'M'/AM'由三角形AM'A'相似三角形AMP'得：AM/AM'=MP'/A'M',即A'M'/AM'=MP'/AM所以：AC/AB=MP'/AM由三角形MP'P相似三角形ANP得：MP'/AN=MP/PN而AN=AM所以：MP'/AM=MP/PN所以：AC/AB=MP/PN1题图2题图2、在三角形BCD中,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE,连接AD,AE,AD=AE,求BCD为等边证明：过点A作CD的平行线交BE的延长线于F点。则∠BDC=∠F=∠BCD=∠A，即∠A=∠F.又因为：四边形AFDC是梯形所以：AC=DF=FE+DE而AC=BD+DE所以：BD=FE又因为：AD=AE,∠BDA=∠FEA所以：三角形ABD和三角形AFE全等所以：∠B=∠F所以：∠B=∠BCD=∠BDC=60°所以：三角形BCD是等边三角形。3、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形ABC内(含相切),A为60度,AC为8,AB为10,X为未知数,是AE的长.圆O与AB,AC相切,圆O与AB的切点为E,X的范围是？解：如图，当元O与三角形ABC三条边都相切时，x的值最大。此时：过B作BD垂直AC,则可求得BD=5(√3),DC=3根据勾股定理求得BC=2(√21)设元O与边AB,BC,CA的切点分别为E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组：x+y=10,x+z=8,y+z=2(√21),解这个方程组得：x=9-(√21)因此：x的范围是（0，9-√21]4、已知三角形ABE中C、D分别为AB、BE上的点，且AD=AE，三角形BCD为等边三角形，求证BC+DE=AC证明:过D点作BE的垂线DF,交AB于F点，过A点作BE的垂线AH,H是垂足，再过F点作AH的垂线FG,G是垂足。则：四边形DHGF是矩形，有FG=DH.而由△ADE是等腰三角形得知DH=HE,所以：FG=(1/2)DE.又由于角B=60°，所以：∠BAH=30°所以：FG=(1/2)AF所以：AF=DE而在直角△BDF中，由于∠B=∠BDC=60°所以：∠CDF=∠CFD=30°所以：CF=CD=BC所以：BC+DE=CF+AF即：BC+DE=AC5、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF证明：如图，连接EC,取EC的中点G,AE的中点H，连接DG,HG则：GH=DG所以：角1=∠2，而∠1=∠4，∠2=∠3=∠5所以；∠4=∠5所以：AF=EF.6、在△ABC中，D是BC边中点，O是AD上一点，BO,CO的延长线分别交AC,AB于E,F求证：EF平行BC。证明：分别过B,C两点作AD的平行线分别交CF,BE的延长线于M,N两点。则：四边形MBCN是平行四边形。由MB‖AO‖CN,得：OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形对应边成比例）而BM=CN所以：OF/FM=OE/EN所以：MN‖EF而MN‖BC所以：EF‖BC.7、已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B',AC=A'C'.AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，且AD=A'D'.求证：△ABC≌△A'B'C'证明：分别过B,B'点作BE‖AC,B'E'‖A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点。则：△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'所以：AC=EB,A'C'=E'B'；AD=DE,A'D'=D'E'.所以：BE=B'E',AE=A'E'所以：△ABE≌△A'B'E'所以：角E=∠E'角BAD=角B'A'D'所以：角BAC=角B'A'C'所以：△ABC≌△A'B'C'8、四边形ABCD为菱形，E,F为AB,BC的中点，EP⊥CD，∠BAD＝110º，求∠FPC的度数解：连接BD,交AC于O点，过A作CD的垂线，垂足为G,过O作BC的平行线交CD于H.因为：角DAB=110°，∠GAB=90°所以：∠DAG=20°。由∠AOD=∠AGD=90°知AOGD四点共元，所以∠DOG=∠DAG=20°由OH‖BC‖AD知：∠HOC=∠DAC=(1/2)∠BAD=55°所以：∠GOH=90°-20°-55°=15°而：∠OHG=∠BCD=110°所以：∠OGH=180°-15°-110°=55°由于：不难证明∠FPC=∠OGH(过程略）所以：∠FPC=55°9、已知：E是正方形ABCD内的一点，且∠DAE=∠ADE=15°，求证：△EBC是等边三角形证明：过E点作AB的平行线EP,交BC于P点，交AD于Q点，以D为角顶点，DA为角的一边，向正方形ABCD内作∠ADF=30°，角的一边交EP于F点。设DQ=√3，则：FQ=1,DF=2,AD=2√3，PC=PB=AQ=√3,由角平分线定理得：QE/EF=QD/DF,即：QE/(1-QE)=(√3)/2解得：QE=2(√3)-3所以：PE=PQ-QE=2(√3)-[2(√3)-3]=3在△EPC中由勾股定理得：EC=√（PE²+PC²）=2√3而：BE=CE所以:BC=BE=CE=2√3即：△EBC是等边三角形。10、在三角形ABC中,经过BC的中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB,AC分别交于D、E，求证，BD+CE＞DE证明：如图，延长EM到E',使E'M=ME,则：DE=DE',由△BE'M≌△CEM得：CE=BE'在△BE'D中，有BD+BE'DE'等量代换得：BD+CEDE11、AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN把△MCN翻折，使点C落在AB上设其落点（1）.如图一，当是AB的中点时，求证：PA/PB=CM/CN（2）.如图二当P不是AB中点时，结论PA/PB=CM/CN是否成立？若成立，请给出证明（1）、证明：因为P是AB中点，所以：AP/PB=1,因为：P点是C点沿直线MN折叠的落点，所以：MN垂直平分PC,所以：CM=MP,由AP=BP得∠ACP=∠BCP=45°所以：CM=MN所以：CM/CN=1所以：PA/PB=CM/CN（2）、结论仍然成立。证明：过P点分别作AC,BC的垂线PE,PD.E,D是垂足。过C作CF垂直AB,F是垂足。则：S△APC=(1/2)AC*PE=（1/2)AP*CFS△BPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF而AC=BC所以：PE/PD=AP/BP由∠MCN=∠MPN=90°知MCNP四点共元所以：∠PME=∠PND所以：RT△PEM∽RT△PDN所以：PE/PD=PM/PN而PM=MC,PN=NC所以：PE/PD=MC/NC所以：AP/BP=MC/NC12、三角形ABC中，BC=5，M和I分别是三角形ABC的重心和内心，若MI平行于BC,则AB+AC的值是多少？解：设内心到三边的距离为r，BC边上的高为AE=h,如图。因为MI‖BC,AM=2MD所以：h=3r而：S△ABC=(1/2)BC*h=(5/2)h=(15/2)rS△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACE=(1/2))r(AB+AC+5)所以：(15/2)r=(1/2))r(AB+AC+5)解得：AB+AC=1013、已知圆O是三角形ABC的外接圆CD是AB边上的高，AE是圆O的直径。求证：AC*BC=AE*CD证明：以E为圆心，以BC长为半径画弧交元O于F点。连接EF,FA.则：EF=BC,∠AFE=90°所以：∠EAF=∠DAC（弦相等，弦所对的圆周角相等）所以：RT△ADC∽RT△EFA所以：AC/AE=CD/EF即AC*EF=AE*CD而：EF=BC所以：AC*BC=AE*CD14、已知：D.E位△ABC内的两点求证：AB+ACBD+DE+EC证明：设直线DE交AB于F,交AC于G,则：在△AFG中，有AF+AGFD+DE+EG在△BFD中，有BF+FDBD在△EGC中，有EG+GCEC所以：三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GCFD+DE+EG+BD+EC即：AB+ACDE+BD+EC15、在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O？为什么？答：BO=2DO,BC边上的中线过O点。证明：连接AO,设M,N分别是BO,CO的中点，连接EM,DN,则：EM平行并等于AO的一半，DN平行并等于AO的一半所以：EM平行并等于DN所以：四边形EMND是平行四边形所以：MO=OD所以：BM=MO=OD所以：BO=2DO延长AO交BC于G,延长DN交BC于H,延长EM交BC于Q,则：由AG‖EQ‖DH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC所以；BG=GC所以；BC边上的中线过O点。16、在△ABC中，AB,BE是△ABC的高，交于点H，边BC,AC的垂直平分线FO,GO相交于点O求证：OF=1/2AH,OG=1/2BH证明：连接CO并延长交△ABC的外接圆于M点。则：OC是元的直径。OF=(1/2)BM,∠MBC=∠MAC=∠ADB=∠BEA=90°所以：BM‖AD,AM‖BE所以：四边形MBHA是平行四边形所以：BM=AH所以：OF=(1/2）AH.同理可证：OG=(1/2)BH.17、三角形中线分别为91215求三角形面积解：过F点作AE的平行线，交DC于H点，则：FH=（1/2)AM=5,MH=3,（三角形中位线定理，三中线交点分中线性质）而：MF=4所以：三角形FMH是直角三角形，即BM⊥DC.所以：S△BCD=(1/2)*9*8=36,所以：S△ADC=S△BCD=36(同高等底的两个三角形面积相等）所以：S△ABC=7218、在△ABC中∠A=90°，AD⊥BC于D，M是AD的中点，延长BM交AC于E，过E作EF⊥BC于F。求证：EF²=AE*CE证明：如图，延长BA,FE交于N.因为：AD‖FN所以：AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE所以：AM/NE=MD/EF而：AM=DM所以：NE=EF由于：角NAC=∠NFC=90°所以：AFCN四点共圆所以：AE*EC=EF*EN所以：EF^2=AE*EC19、已知E为平行四边形ABCD的边BC上的任一点，DE延长线交AB延长线与F，求证S△ABE=S△CEF。证明:分别过C,E两点作AB的垂线CH,EG,H,G是垂足。设BE=m,EC=n由△BFE∽△CDE得：BF/CD=m/n.即BF/(BF+CD)=m/(m+n)也就是BF/AF=m/(m+n)(因为AB=CD，有AF=BF+CD)由RT△BEG∽RT△BCH得：HC/GE=(m+n)/m所以：(BF/CD)*(HC/GE)=1而：S△AFE=(1/2)AF*GES△BFC=(1/2)BF*CH所以：S△BFC/S△AFE=BF*HC/AF*GE=1所以：S△BFC=S△AFE两边同时减去S△BFE得：S△ABE=S△CEF。20、等腰直角三角形，角A为90°，D，E两点为斜边上的动点，角DAE=45°，当D合B重合或E和C重合时，线段DE的长度等于BD+EC当不重合时，DEBD+CE.证明：不重合时。以A点为顶点，AC为一边向△ABC的外侧作∠CAB'，使∠CAB'=∠DAB.截取AB'=AD.又因为：AC=AB.所以：△CAB'≌△BAD所以：B'C=DB因为:∠BAC=90°，∠DAE=45°。所以：∠BAD+∠CAE=45°。所以：∠B'AE=∠B'