《工程数学—线性代数》复习参考资料

1《工程数学—线性代数》复习参考资料——《线性代数》的复习尤其要求．．．．详细阅读人手一册的《综合练习题》授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）第一章行列式一、全排列及其逆序数（理解）1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列）2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。例题求排列32514的逆序数解3的逆序数为0；2的逆序数为1；5的逆序数为0；1的逆序数为3；4的逆序数为1；于是这个排列的逆序数为513010t二、n阶行列式的定义（理解）定义设有2n个数，排成n行n列的数表，a11a12…a1na21a22…a2n………………an1an2…ann作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号t)1(，得到形如2nnppptaaa2121)1(（1）的项，其中nppp21为自然数n,,2,1的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项，所有这n！项的代数和nnppptaaa2121)1(称为n阶行列式，记作nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211，简记为)det(ija，数ija称为行列式)det(ija的元素。元素ija的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列，三、行列式的性质（掌握）记nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211，nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111行列式DT称为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。3第i行（或列）乘以k，记作kri（或kci）推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。第i行（或列）提出公因子k，记作kri（或kci）。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。性质5若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD/212/2222211/111211，则D等于下列两个行列式之和：nnninnniniaaaaaaaaaaaaD21222221111211nnninnniniaaaaaaaaaaaa/212/222211/11211性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。以数k乘第j列加到第i列上，记作jikcc；以数k乘第j行加到第i行上，记作jikrr；计算行列式常用的一种方法就是利用运算jikrr把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。P16例7、8。（可以证明，对于上三角行列式D有：4nnnnnnaaaaaaaaaD2211222112110当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。）四、行列式按行（列）展开（掌握）设nnnninijiinnaaaaaaaaaaaaaD21212222111211在n阶行列式中，把ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM；记ijjiijMA)1(，ijA叫做元素ija的代数余子式。引理一个n阶行列式，如果其中第i行的元素除ija外都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即5ijijnnnnijnnAaaaaaaaaaaaD212222111211000定理行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即),,2,1(2211niAaAaAaDininiiii或),,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即jiAaAaAaDjninjiji,02211，或jiAaAaAaDnjnijiji,02211。五、四阶行列式的计算（重点掌握）例1计算行列式1123211232114321解：62)1214(7432)1(7443230011184653111)1(1184653111)1(118436532111100011123211232114321113114321312141312cccccccccc例2计算行列式3214214314324321解：160)116144(36444)1(3640440721131071082721)1(131071082721)1(1310741082372120001321421431432432111723114321312141312rrrrcccccc五、克拉默法则（注意，计算量比较大）设有n个未知数1x、2x、…、nx的n个线性方程的方程组7nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）克拉默法则如果线性方程组（1）的系数笔列式不等于零，即01111nnnnaaaaD那么，方程组（1）有唯一解DDx11，DDx22，…，DDxnn。其中),,2,1(njDj是把第数行列式中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即nnjnnjnnnjijjaabaaaabaaD1,1,111,11,111第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念（理解）1、由nm个数),,2,1;,,2,1(njmiaij组成的m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa2122221112118称为m行n列矩阵，简称nm矩阵，记作mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211也常记作nmA。这nm个数称为矩阵A的元素，简称元，数ija称为),(ji元。以数ija为),(ji元的矩阵可简记作（ija）或nmija)(。2、行数和列数都等于n的矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶方阵A也记作nA。3、只有一行的矩阵naaaA21称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作),,,(21naaaA只有一列的矩阵mbbbB21称为列矩阵，又称列向量。4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵，如果ijaA与ijbB是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即),,2,1;,,2,1(njmibaijij那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作9BA5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。6、单位矩阵简记作E，即100010001nE7、对角矩阵简记作),,,(211ndiagA即nA00000021二、矩阵的运算与性质（掌握）1、矩阵的加法设有两个矩阵nmijaA、ijbB，那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为mnmnmmmmnnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律：设A、B、C都是m×n矩阵，则（1）ABBA；（2）)()(CBACBA10（3）)(BABA设设矩阵ijaA，记ijaA—A称为矩阵A的负矩阵。2、数与矩阵相乘数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为mnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211数乘矩阵满足下列运算规律：设A、B、为m×n矩阵，λ、μ为数，则（1）)()(AA；（2）AAA)(；（3）BABA)(。3、矩阵与矩阵相乘设ijaA是一个sm矩阵，ijbB是一个ns矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个nm矩阵ijcC,其中sjisjijiijbababac2211并把此乘积记作C=AB必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下BAAB，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：11（1）)()(BCACAB（2）),()()(BABAAB（其中λ为数）（3）ACABCBA)(CABAACB)(（重要）例1已知矩阵1003101131A，405261B求AB。解：4)1(50600)1()2(010435)1(6003)2()1(104115361011)2(311AB40726554、方阵的行列式、伴随矩阵定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式。记作A。行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵nnnnnnnaaAaaAaaAA2122212121112称为方阵A的伴随矩阵．．．．，记为A。5、逆矩阵定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使EBAAB则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。定理若0A，则矩阵A可逆，且AAA11。重要例题P56-57例10方阵的逆矩阵满足下述运算规律：1）若A可逆，则1A亦可逆，且AA11)(。2）若A可逆，数0则λA可逆，且AA1)(1。3）若A，B为同阶矩阵，且均可逆，则AB亦可逆，且111)(ABAB。例题：设n阶方阵A满足A2—A—2E=0，证明：A—E是可逆矩阵，并求A—E的逆矩阵。证明：由A2—A—2E=0得A2—A=2EA（A—E）=2EEEAA)(21∴A—E是可逆矩阵且AEA21)(1。复习说明——大家重点要掌握的是第一、二章的关于行列式、矩阵的各种13计算，必须非常熟练、坚定不移地掌握！！第三章略为次要一些，试题比重不会太大，第四章一般只考一些基本的概念、定理、推论，这两章建议大家按《综合练习》的题型进行复习即可。《综合练习》还是看《通信工程专业——《线性代数》综合练习题与答案》那本，题型较为全面，比较保险。比较重要的题目有：第一大题的1至8；第二大题的1至7；第三大题的1至11；第四大题的1、2。