初中数学建模(第一课)(王万军)

所谓数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方法对所要解决的实际问题进行的一种刻画。一般地，通过建立数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模。数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。教学中加强数学建模的教学，引领学生寻找解题的途径。针对一类问题，给学生一个模式，让学生有据可依，以不变应万变，触类旁通，这样较为符合学生的心理特征，也有利于提高学生解决问题的能力。一、数学模型思想在初中数学中的意义近几年，中考加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，考察学生应用数学的能力。但是学生在应用题中的得分率远低于其它题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此，教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识。二、解答数学模型问题的一般步骤（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景；（2）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、概率模型、统计模型等）;（3）求解数学问题，获得数学模型的解答；（4）回到实际问题，检验模型，解释结果。1、建立“方程(组)”模型2、建立“不等式(组)”模型3、建立“函数”模型4、建立“几何”模型5、建立“概率”与“统计”模型三、初中数学建模的几种题型18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点？这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里，欧拉把它转化为了一个数学模型，并且发现了一个问题……ACDB后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如图）——一笔画问题。ABCD数学模型建立好之后，那么“七桥问题”也就转化成了“一笔画问题”“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。.ACBA→B→C→ABAA→头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴B问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。●●●②有偶数条线相连的点叫偶点。如：●●●①有奇数条线相连的点叫奇点。如：③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。2、每条线都只能画一次而不能重复。问题分析下列图形能否一笔画图1图5图4图3图2不连通的图形不能一笔画连通的图形有可能一笔画画的图形都有几个奇点？几个偶点？你能一笔画出下列图形吗？能够用一笔画的图形的特征是：奇点的个数是0或2。1.当奇点个数是0的时候，任何一个点都可作起点，终点也是这个点；2.当奇点个数是2的时候，起点一定是其中的一个奇点，终点一定是另一个奇点。3.凡是图形中奇点的个数大于2个时，此图肯定是不能一笔画成的。下列图形能一笔画吗？判断下列图形能否一笔画图5图4图3图2图6图1CDBA欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。由于七桥问题中的A、B、C、D四个点都是奇点，因此可以判断它是无法一笔画出来的，也就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！一、建立一元一次方程及二元一次方程组的模型例1、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按左图的方式放置。再交换木块的位置，按右图的方式放置。测量数据。如图。求桌子的高度。设：木块长为a、宽为b、桌子的高为x，依题意有：解得：X=75axb80bxa70例2：根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高cm，放入一个大球水面升高cm；（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x=32﹣26，解得x=2；设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y=32﹣26，解得：y=3．所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm；（2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，得：解得：答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个．方法归纳：本题考查了列一元一次方程和列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组及一元一次方程的解法的运用，解答时弄清图画的含义是解答本题的关键。64nm例3、玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元。玲玲的爸爸妈妈商量后决定，只选一个公司单独完成。（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？（2）如果从节约开支的角度考虑呢？说明理由。解析：利用二元一次方程组数学模型，节约时间久应考虑效率、节约开支就得计算总费用，通过这两方面的计算得到决策。解析：利用二元一次方程组数学模型，节约时间久应考虑效率、节约开支就得计算总费用，通过这两方面的计算得到决策。例4、（2004年山东省枣庄市中考题）某家庭新购住房需要装修，如果甲、乙两个装饰公司合做，12天可以完成，需付装修费1.04万元；如果甲公司先做9天，剩下的由乙公司来做，还需16天完成，共需付装修费1.06万元。若只选一个装饰公司来完成装修任务，应选择哪个装饰公司？试说明理由解：设甲公司单独做x天完成，乙公司单独做y天完成。根据题意，得解之，得设甲公司单独完成装修工程需装修费a万元，乙公司单独完成装修工程需装修费b万元。则解之，得所以，甲公司完成装修工程需21天，装修费0.98万元；乙公司完成装修工程需28天，装修费1.12万元。从节约时间、节省开支的角度考虑，应选择甲公司来完成此项装修任务。二、建立分式方程模型解决实际问题。例5、2013年4月20日，我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震。某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务。在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？解：设该厂原来每天生产顶帐篷据题意得：解这个方程得x=100经检验x=100是原分式方程的解答：该厂原来每天生产100顶帐篷．方法归纳：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据生产过程中前后的时间关系建立方程是关键。1500300120041.5xxx三、建立一元二次方程模型解决实际问题。例6、某市某楼盘准备以5000元/㎡的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平米4050元的均价开盘销售。（1）求平均每次下调的百分率。（2）某人准备以开盘均价购买一套100平米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择。①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平米每月1.5元。请问哪种方案更优惠？解析：模型“a（1+x）n=b”其中a为原来量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量。“+”表示增长，“-”表示下降（减少）。本题由模型a（1+x）n=b列方程，分别计算两种方程的总花费，比较大小得出结论。例7、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？（1）解：设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．化简，得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元）答：该店应按原售价的九折出售．方法归纳：解一元二次方程应用题的基本步骤：设，列，解，答，验。解题的关键是关键题目中的等量关系列出方程，切记根的取舍要根据根在实际问题中的意义。2x例8、如图3(1)，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直)．把耕地分成大小相等的六块作实验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？(1997年安徽省中考题)简析如图3(2)．作整体思考，设道路的宽为x，则问题转化为求方程(20－x)(32－2x)＝570的解，解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)。方程模型的考试要求1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。（会找等量关系）2.能根据具体问题的实际意义和数量关系，列一个一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程，解决实际问题，并检验方程解的合理性。四、建立“不等式(组)”模型现实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。如市场营销、生产决策、统筹安排、核定价格范围等问题,可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。例9、小明准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶。已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小明最多能买多少瓶甲饮料？考点：不等式的应用设小明能买甲饮料x瓶，则买乙饮料（10-x）瓶。根据题意的：7x+4（10-x）≤50解得：x≤331例10、开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用了1元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本。（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格。（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本48件，作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？例11：我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米/秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米/秒的时间约占60天。为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机。根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：日平均风均v（米/秒）v33≤v6v≥6A型发电机0≥36≥150日发电量（千瓦·时）B型发电机0≥24≥90根据上面数据回答：（1）若这个发电厂购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电量至少为千瓦·时。（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电厂拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的发电厂每年发电总量不少于102000千瓦·时，请你提供符合条件的购机方案。方程与不等式组的综合例题例12、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加。据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆。（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位。据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案。不等式（组）模型的考试要求能根据具体问题中是数量关系列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的问题。在列的过程中一定要注意题目中的关键词，如：多于、超过、不到、最大、至少等等。五、建立函数模型对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出