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选择-消费者均衡分析一.良好性状偏好消费者选择的几何分析.NABEC3121.56x1x2....1.消费者的选择为E点.2.E点为均衡点.如何理解经济学的均衡概念.3.E点的存在性与唯一性对偏好提出了要求.4.E点在边界上达到.5.在E点,预算性与无差异曲线相切.MRS12=MU1/MU2=p1/p21)相切条件.2)边际意愿替代率与市场替代率相等.3)对正单调转换的不变性.6.MU1/p1=MU2/p2=λ*1)等边际效用法则.2)货币的影子价格.3)对正单调转换的可变性.4)解释需求曲线向下倾斜.7.效用函数为u(x1,x2)=x1x2预算线为8x1+2x2=24MU1/MU2=x2/x1=p1/p2=8/2=4解得:x1*=1.5x2*=6u*=u(x1*,x2*)=9λ*=0.75/2/二.特殊偏好的均衡分析1.完全替代m/p1m/p2u(x1,x2)=x1+x2p1p2m/p1m/p2在E点,相交而非相切x1*=m/p1x2*=0u*=x1*=m/p1EABx2x1...Ep1p2x1*=0x2*=m/p2u*=x2*=m/p2经济解释p1=p2预算线与一条无差异曲线重合,其上所有点都是均衡点p1x1*+p2x2*=mu*=m/(p1)x2x2x1x12.完全互补ABECx2=x1m/p1m/p2u(x1,x2)=min{x1,x2}无差异曲线在E点不可导,在E点不是相切,是相交,交点是唯一的.x1*=x2*=m/(p1+p2).u*=u(x1*,x2*)=m/(p1+p2).x2x13.厌恶品E角点解,相交非相切.x1*=m/p1x2*=0.全部购买嗜好品.x2x14.中性商品Ex2x15.离散商品.........E.........Ex2x2x1x1......三.均衡的存在性与唯一性1.威恩斯特拉斯(weierstrass)定理设f:S→R是一个连续实值映射,其中S是Rn的一个非空的紧子集,那么存在一个向量xMax∈S与一个向量xMin∈S,使得f(xMin)≤f(x)≤f(xMax)对于x∈S.闭区间上连续函数取最大值和最小值的一般化.2.Maxu(x)s.tpx≤m预算集B是Rn的紧子集.偏好关系是完备的.可传递的.连续的.严格单调的→u(x)存在.是实值连续函数.根据威恩斯特拉斯(weierstrass)定理→均衡存在.根据严格单调性→x*在B的边界达到,px*=m.根据偏好关系严格凸性→u(x)严格拟凹→x*是唯一的.证明:如果x*不是唯一的,存在x1和x2是最优点.u(x)严格拟凹,存在xt,u(xt)u(x1),矛盾.四.均衡的代数分析多元函数偏导数就是将其余变量看作常数对该变量的导数.1.等式约束极值的拉格朗尔乘子法Max(Min)y=f(x1,x2,…,xn)s.tg(x1,x2,…,xn)=0拉格朗尔函数L(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)-λg(x1,x2,…,xn)必要条件:Li=0(i=1,2,…,n)Lλ=0fi=λgig(x1,x2,…,xn)=02.Maxu(x1,x2)=x1x2s.t8x1+2x2=244x1+x2=12L(x1,x2,λ)=x1x2-λ(8x1+2x2-24)L1=x2-λ8=0L2=x1-λ2=08x1+2x2-24=0解得x1*=1.5x2*=6u*=u(x1*,x2*)=93.u(x1,x2)=x1cx2dMaxlnu(x1,x2)=clnx1+dlnx2s.tp1x1+p2x2=mL(x1,x2,λ)=clnx1+dlnx2-λ(p1x1+p2x2-m)L1=c/x1-λp1=0→c=λp1x1L2=d/x2-λp2=0→d=λp2x2Lλ=-p1x1-p2x2+m=0→c+d=λ(p1x1+p2x2)λ=(c+d)/mx1*=c/(λp1)=[c/(c+d)](m/p1)x2*=d/(λp2)=[d/(c+d)](m/p2)x1*=x1*(p1,p2,m),x2*=x2*(p1,p2,m)马歇尔需求函数.u*=u(x1*,x2*)=u*(p1,p2,m)间接效用函数.4.Maxu(x1,x2,…,xn)s.tp1x1+p2x2+…+pnxn=mL(x1,x2,…,xn,λ)=u(x1,x2,…,xn)-λ(p1x1+p2x2+…+pnxn-m)Li=ui-λpi=0Lλ=-p1x1-p2x2-…-pnxn+m=01)xi*=xi*(p1,p2,…,pn,m)马歇尔需求函数.u*=u*(p1,p2,…,pn,m)间接效用函数.2)ui/uj=pi/pj需求—比较静态分析一.收入变动的比较静态分析1.其他条件不变偏好不变.无差异曲线不变.价格不变.预算线斜率不变.收入变动.预算线平行移动.2.收入提供曲线与恩格尔曲线收入提供曲线是收入变动均衡点变动曲线.恩格尔曲线是某种商品需求与收入变动的关系曲线....x1*x2*x3*E1E2E3x1*x2*x3*m1m2m3x1mx1x2收入提供曲线恩格尔曲线3.完全替代E1E2E3x1*=m/p1p1p2x1=m/p1mx1x2x1收入提供曲线恩格尔曲线4.完全互补x1*=x2*=m/(p1+p2)x2=x1收入提供曲线x1=m/(p1+p2)恩格尔曲线E1E2E3x2x1x1m5.柯布－道格拉斯x1*=[c/(c+d)](m/p1)=α(m/p1)6.相似偏好x≧y对于t0tx≧ty←→相似偏好.需求束与收入按相同比例增减,恩格尔曲线是过原点的直线.x*是收入m时的需求束,px*=m,x*≧y.py≤m.ptx*=tm,相似偏好→tx*≧ty.pty≤tm.tx*是收入tm时的需求束.完全替代.完全互补.柯布－道格拉斯偏好是相似偏好.7.拟线性偏好x1*=m/p1412345收入提供曲线u=(x1)0.5+x2p1=1p2=4x1*=(p2/(2p1))2=444x1=mx2x1x1m8.基于需求与收入变化关系的商品分类收入增加,需求增加,中高档商品;收入增加,需求下降,低档商品.x1是低档商品,x2是中高档商品.低档商品不是厌恶品...mx1x1x2E1E2二.价格变动的比较静态分析1.其他条件不变偏好不变.无差异曲线不变.收入和另一种商品价格不变.预算线在另一种商品轴截距不变.某种商品价格变动.预算线饶不动点转动.2.价格提供曲线与需求曲线价格提供曲线是价格变动均衡点变动曲线.需求曲线是某种商品需求与其价格的关系曲线.又称作普通需求曲线...p1x1m/p1m/p1’p1p1’x1*x1*’价格提供曲线需求曲线基数效用理论→边际效用递减规律→需求曲线向下倾斜规律x2x13.完全替代p1p2p1=p2p1p2价格提供曲线p1x1.p2p1p2,x1=0;p1=p2,x1=0~m/p2;p1p2,x1=m/p1.x2x14.完全互补m/p2p1x1价格提供曲线与收入提供曲线重合x1=m/(p1+p2)x2x15.基于需求与价格变动关系的商品分类某商品需求量随自身价格下降而增加,正常商品.某商品需求量随自身价格下降而下降,吉芬商品.某商品需求量随另一种商品价格上升而增加,互为替代品.某商品需求量随另一种商品价格上升而下降,互补品.某商品需求量随另一种商品价格上升保持不变,无关商品.三.税收效应分析1.所得税等价于收入减少变动,从量税和从价税等价于价格上升变动.2.从量税与等量所得税效应比较E2E1E3m/p1m/(p1+t)x2x11)从量税预算线(p1+t)x1+p2x2=m在E2点,(p1+t)x1*+p2x2*=m,税收收入为tx1*.2)等量所得税预算线p1x1+p2x2=m-tx1*.(x1*,x2*)满足该式,该线过E2点.3)-(p1+t)/p2-p1/p2.两线相交于E2点,等量所得税预算线平缓,一定存在更优选择E3.4)等量所得税优于从量税.比较静态分析与导数四.几个概念1.马歇尔需求函数和间接效用函数.1)maxu(x)s.tpx≤yx=x(p,y)马歇尔需求函数v(p,y)=u(x(p,y))间接效用函数2)≧完备的,可传递的,连续的,严格单调的,严格凸的→马歇尔需求函数x=x(p,y):(1)关于p和y是零次齐次的.(2)满足预算平衡性px(p,y)=y.(3)x*0,p*0,y00u在R+n上二阶连续可微,ζu(x*)/ζxi0.u的加边海塞矩阵H在x*处有一个非零的行列式→马歇尔需求函数x=x(p,y)在(p0,y0)处可微.0u1u2…unu1u11u12…u1nH=u2u21u22…u2n……………unun1un2…unn3)u在R+n上是连续的且严格递增的,间接效用函数v(p,y):(1)在R++n×R+上连续.(2)关于(p,y)是零次齐次的.(3)关于y是严格递增的.(4)关于p递减.(5)关于(p,y)是拟凸的.(6)罗伊等式:如果v(p,y)在(p0,y0)处可微.ζv(p0,y0)/ζy≠0,xi(p0,y0)=-ζv(p0,y0)/ζpi/ζv(p0,y0)/ζy2.希克斯需求函数和支出函数.1)minpxs.tu(x)≥ux=x(p,u)希克斯需求函数e(p,u)=px(p,u)支出函数2)u在R+n上是连续的且严格递增的,支出函数e(p,u):(1)当u取U中的最低效用水平时,它为零.(2)在R++n×R+上连续.(3)对p0,关于u是严格递增且无上界.(4)关于p递增.(5)关于p是一次齐次的.(6)关于p是凹的.(7)如果u是严格拟凹的,谢泼德引理:(p0,u0)处,p00,如果e(p,u)可微.ζe(p0,u0)/ζpi=xih(p0,u0)3.关系对偶性1)v(p,y)与e(p,u)u在R+n上是连续的且严格递增,p0,y≥0.(1)e(p,v(p,y))=y.(2)v(p,e(p,u))=u.2)x(p,y)与x(p,u)≧完备的,可传递的,连续的,严格单调的,严格凸的,p0,y≥0.u∈U(1)xi(p,y)=xih(p,v(p,y)).(2)xih(p,u))=xi(p,e(p,u))/3/显示偏好消费者偏好(不可观察)→需求理论→市场需求的可观察性质→消费者行为消费者可观察的行为→消费者可观察选择的假设中→不可观察偏好→消费者理论保罗-萨缪尔森,经济分析基础,1947.一.显示偏好假设基本偏好是严格凸的.1.直接显示偏好1)定义:x0.x1∈X,x0≠x1,p0x0≥p0x1或在x1可选的情况下,消费者在p0时选择x0,称x0被直接显示偏好于x1.2)p0=(p1,p2)=(1,2),x0=(1,2);x1=(2,1).p0x0=5,p0x1=4,p0x0p0x1;x2=(4,1).p0x2=6,p0x0p0x2.x0被直接显示偏好于x1.x0不被直接显示偏好于x2...xy-p1/p2p1x1+p2x2≥p1y1+p2y2x被直接显示偏好于y3)x2x1.z4)直接显示偏好概念不同于偏好概念.2.显示偏好原理:x0被直接显示偏好于x1,假设消费者总是在他能够选择的消费束中选择他最偏好的消费束或消费者选择时追求效用最大化,那么x0﹥x1.3.间接显示偏好1)定义:x0被直接显示偏好于x1,x1被直接显示偏好于x2,则x0被间接显示偏好于x2.2)p0=(1,2),x0=(1,2);p1=(2,3),x1=(2,1);x2=(1,1.5).p0x0≥p0x1,p1x1≥p1x2...........x0x1x24.恢复偏好...xyzx2x2x1x1-1/2-2/35.显示偏好弱公理(WARP)1)x0.x1∈X,x0≠x1,消费者追求效用最大化,如果x0被直接显示偏好于x1,那么x1不能被直接显示偏好于x0.2)证明利用显示偏好原理采用反证法.........x0x13)p0=(3,4),p1=(4,3).x0=(1,9/4),x1=(9/4,1).p0x0=12,p0x1=10.75.p1x1=12,p1x0=10.75.p0x0p0x1,p1x1