34直接证明与间接证明

直接证明与间接证明—反证法复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时如何运用？1.综合法综合法已知条件结论分析法结论已知条件2.分析法3.用分析法寻求思路，再由综合法书写过程注意：分析法要格式规范A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎,则A、B都撒谎.由A撒谎,知B没有撒谎.那么这个假设：C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.思考？这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明理论无论,xy取任何非零实数，证明：等式111xyxy总不成立．证明：设存在非零实数11,xy，使得等式1111111xyxy成立，则11111111()()yxyxxyxy，∴2211110xyxy，即221113()024yxy，但是10y，即221113()024yxy，从而得出矛盾．原假设不成立，故原命题成立．3.无论,xy取任何非零实数，证明：等式111xyxy总不成立．反设归谬证明：设存在非零实数11,xy，使得等式1111111xyxy成立，则11111111()()yxyxxyxy，∴2211110xyxy，即221113()024yxy，但是10y，即221113()024yxy，从而得出矛盾．原假设不成立，故原命题成立．存真这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明反证法是最常见的间接证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。理论反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反设归谬存真例1：已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。证明：假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1∴a2是奇数，与已知矛盾。∴假设不成立，所以a是偶数。注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例题例2：不可能成等差数列5,3,2注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……”，“不等于……”，“不具有某种性质”等)常用反证法例3已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=0∵a≠012120,即∴x-xx=x12与xx矛盾故假设不成立，结论成立。证：注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法```假设方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1≠x2)是方程的两个根.例4：已知x0,y0，x+y2，求证：中至少有一个小于2。xyyx1,1分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.注:“至少”、“至多”型命题常用反证法（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”（2）否定性命题（4）至多，至少型命题（3）唯一性命题归纳总结：三个步骤：反设—归谬—存真归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）与假设自相矛盾。反设：注意原结论的反面要全面、正确、准确存真：格式规范不能少证明：素数有无穷多个趣味数学证明：假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p，设q为所有素数之积加上1，那么，q=（2×3×5×…×p）+1不是素数，那么，q必然被2、3、…、p中的至少一个素数整除，而q被这2、3、…、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾．所以，素数是无限的．求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k这与m，n互质矛盾！假设不成立，故是无理数。2趣味数学2∴n也是偶数，n而必是偶数设,,(0,1)abc,求证：(1),(1),(1)abbcca不能都大于14.练习1,+ababab已知，是有理数，且是无理数证明：是无理数练习2练习3求证：拋物线上不存在关于直线x+y=0对称的两点1212xy练习4己知下列三个方程x2+4ax－4a+3=0，x2+（a－1）x+a2=0，x2+2ax－2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．总结提炼1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．①反设②归谬③存真2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?3.反证法的思想课外作业个人或者几位同学合作出一到正面处理很难的题。