柱、锥、台的体积详解

柱、锥、台的体积ha21Sahahah等底等高的三角形面积相等等面积法：思考：如何解决柱体的体积问题？柱体的体积长方体的体积长方体体积：正方体体积：圆柱的体积：Vabh3Va2VrhVShabhaaah底面积高柱体体积aa2以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：ShV（其中S为底面面积，h为柱体的高）VSh柱体的体积sSS等底等高的柱体体积相等ssshhSV柱体hrV2圆柱AA1C1ABA1CA1B1CBCA1C1B1CCABACABCAVV11BBACV11CBBABBACVV1111BCCAV11柱体锥体VV3hSVV3131柱体锥体hrV231圆锥探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．结论：三棱锥是同底等高的三棱柱的体积的如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？31注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离锥体(棱锥、圆锥)的体积：13VSh锥体等底同高的锥体的体积有何关系?hrV231圆锥S’S’sshh’锥体的体积求棱长为的正四面体的体积a2ABCDOaaBO3622332aaaAO33236222aaV33224331233a求棱长为的正四面体的体积a2三棱锥正方体VVV4aaaa21314333a割补法ss/ss/hx台体的体积V台体=1h(s+ss'+s')3上下底面积分别是s/,s,高是h，则S'Sxhsshxx'''ssshxxSxhSV'31)31（台xSSxSh'313131''')(3131ssshSSSh'')(3131shssSh)(31''ssssh台体VVV大锥小锥1133113313ShShSSSSShSSShhSSSSShxSS11=33SxhSx11=33ShSSx2xSxhSxSxhSShxSSSShx棱台(圆台)的体积公式:hSSSSV)(31其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．SS例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的体积是多少？(结果中保留π)ACOOO1A110010'2S400202S310)1020(3h)''(31SSSShV台体337000)100200400(31031(cm3)已知A、B是三棱柱上底面两边的中点，如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求这两部分的体积比。ABCDV1V2设△ABE的面积为SE)44(311SSSShVShShShV353742Sh375:7:21VV柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShVSSS’,S分别为上、下底面面积，h为台体高ShV310SS为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小2、已知长方体相邻三个面的面积分别为2,3,6,则此长方体的对角线和体积分别为________。练习1、已知三棱锥S-ABC的底面是直角边分别为a,b的直角三角形，高为c，则它的体积为________。3、长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长为2cm，这个棱台的体积为________。4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线长为5,则这个圆锥的体积为_________。如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且BCFADE、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）（A）32（B）33（C）34（D）23AG已知四面体A-BCD中，AB垂直于面BCD，∠BCD＝∠ACD＝90º，BC＝4，AB＝CD＝3，求点B到面ACD的距离。ABCDhB433等体积法BCDAACDBVV3432131532131Bh一倒放的圆锥形封闭容器，高为2h,装入水，使水高为圆锥高的二分之一，则倒转容器后，水的高度是多少？如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8.若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为________．在△ABC中，AB=2，AC=1.5，∠BAC=1200.若将△ABC绕直线AC旋转一周，求形成的旋转体的体积．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为补形法一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为()A．23B．25C.433D.533一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.(1)求证：AF⊥平面CBF；(2)求三棱锥C－OEF的体积．求多面体的体积时常用的方法直接法割补法等体积法根据条件直接用柱体或锥体的体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积．APCB解法一直接法APCBOEF已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积．APCEFOB解法一：直接法过P作PO⊥平面ABC于点O,过O作OE⊥AB于点E,过O作OF⊥AC于点F,由∠PAB=∠PAC易证得：△PEA≌△PFA∴PE=PF∴△POE≌△POF∴OE=OF∴点O在∠BAC的平分线上1,2AE33AO2223POPAAO∴∴∴13113222322323PABCABCVSPO△解法二等体积法APCBD已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积．解法二：等体积法∵PA=1，AB=2，在△PAB中：∴AP⊥BP3,PBPC2BC222PDPBBD∴∴∴13112213223PABCAPBCPBCVVSAP△APCDB∠PAB=60°同理：AP⊥CP∴AP⊥平面BPC取BC的中点D，连PD则PD⊥BC解法三割补法APCBEF已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积．解法三：割补法∵E、F分别为AB、AC的中点分别取AB、AC的中点E、F∴∴2212423PABCPAEFPEFOBVVV连接EF、PE、PF，由条件得P-AEF为正四面体EFAPCB其棱长为1，其体积为2123AEFEFOBSS△四边形∴234PEFOBPAEFVV-解法四割补法BCPADBDCPA已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积．解法四：割补法延长AP到D，使PD=AP∴1223PABCDABCVV连接DB、DC，32222123DABCVBDCPA由条件得D-ABC为正四面体由例1结论可知：