柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积

柱体、锥体、台体、球体的体积和球体的表面积思考：取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？一、柱体、锥体、台体的体积关于体积有如下几个原理：（1）相同的几何体的体积相等；（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；（3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；（4）体积相等的两个几何体叫做等积体.归纳：长方体体积：正方体体积：Vabc3VaVSh正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：ShV（S为底面面积，h为高）．（一）、柱体体积：一般棱柱体积也是：ShV其中S为底面面积，h为棱柱的高．hS棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．（二）、锥体体积：三棱锥与同底等高的三棱柱的关系探究ShV31（其中S为底面面积，h为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．31经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：31（三）、台体体积：由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式．根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．SS公式推导过程棱台和圆台棱台和圆台可以这样得到小圆锥大圆锥圆台VVV])([31hShhS上下下上SShhh上下上SSShh])[(31hSSSShSSV下上下上上下圆台hSSSS)(31下上下上棱台的体积公式同理可得.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShVSSS分别为上、下底面面积，h为台体高ShV310SS为底面面积，h为锥体高（四）、柱、锥、台体的体积公式联系：上底扩大上底缩小二、球体的体积和表面积探究如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？球的截面的形状圆面球的概念球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆Rrlo因此S圆=2r=()22lR=2R2llloll设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为那么r=22lRlh排液法测小球的体积1、实验法：（一）、球的体积：探究公式？h实验：排液法测小球的体积小球的体积等于它排开液体的体积曹冲称象HR.34,32:33RVRV从而猜测半球?半球V331RV圆锥333RV圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比2、类推法：OR)1(inR半径：层“小圆片”下底面的第i.,2,1,)]1([22niinRRriirO3、分割极限法：nininRnRrVii,2,1],)1(1[232niinRRri,,2,1,)]1([22nVVVV21半球])1(21[22223nnnnR]6)12()1(1[23nnnnnnR]6)12)(1(11[23nnnR]6)12)(11(1[3nnRV半球.01,nn时当.343233RVRV从而半球334RVR的球的体积为：定理：半径是oiSo（二）、球的表面积：探究公式？分割法第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：nSSSS,,321，，则球的表面积：nSSSSS321则球的体积为：iV设“小锥体”的体积为iVnVVVVV321iSOO第二步：求近似和ih由第一步得：nVVVVV321nnhShShShSV31313131332211iiihSV31OiSiVO第三步：化为准确和RSVii31如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥RSRSRSRSVni3131313132RSSSSSRni31)...(3132334RV又球的体积为：RiSiVihiSOiV234,3134RSRSR从而Rhi的值就趋向于球的半径11343VR球球的体积和表面积公式：OR例1、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？3/8.7cmg解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm所以螺帽的个数为252)956.28.7(10008.5（个）答：这堆螺帽大约有252个．三、例题讲解例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。13Vh下下台体上上S+S+SS例3、一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，溢出杯子吗？（假设冰淇淋融化前后体积不变）12cm4cm8.5cm8cm例4、一个圆柱形的玻璃杯的内半径为3cm，瓶里说装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的体积。例5、一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm3)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.142]34)25(34[9.733x3.1149.73142)25(33x由计算器算得:24.2x5.42x(变式)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体2215056cmS侧侧棱长为5cm例6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt得中略解：ABCDD1C1B1A1OOABCO例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，是正三角形，ABCROO,2r332AB2332AO,,222AOOOOAAOORt中解：在,)332()2R(R222.34R;81256)34(343433RV.96491644S2R2、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.83323、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.1、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.练习一33:22:1四、课堂练习4、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.练习二2422:134:11、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.5、长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.15,5,396、若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.47、将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.3312柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体hSSSSV)(31台体柱体ShV'SS0'S五、课堂小结球的体积和表面积：343VR球习题1-7A组第8题B组第1、3题预习小结与复习六、作业