§1.1.2正弦余弦定理习题课

2020/2/2§1.1正弦、余弦定理的综合应用CcBbAasinsinsin余弦定理：2aAbccbcos2222bBaccacos2222cCabbacos222正弦定理：复习：（R是三角形外接圆半径）R2在△ABC中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2020/2/2实现边角互化余弦定理的推论.2sin,2sin,2sinRcCRbBRaA.2cos,2cos,2cos222222222abcbaCacbcaBbcacbA,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa正弦定理的变形解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？（1）已知三角形的任意两角及其一边；（ASA,AAS）（若知A,B角，先由三角形内角和求角C，正弦定理求a、b）（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角（SSA）（若知A角，先由正弦定理求B，由三角形内角和求C，再由正、余弦定理求c边）注意解的个数。（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角；（SAS）（若知C角，先由余弦定理求c边，再由正弦或余弦定理求角A、B）（4）已知三角形的三条边。（SSS）（由余弦定理先求两角，由三角形内角和求第三角）在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．探究问题一正余弦定理的综合应用(2)若a＝3，b＝1，求角B的大小．例1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；解：(1)由题知：cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又∵∠A是△ABC的内角，∴∠A＝π3.(2)由正弦定理：asinA＝bsinB，∴sinB＝b·sinAa＝1×323＝12.又∵ba，∴∠B∠A.又∠B是△ABC的内角，∴∠B＝π6.又0°＜B＜180°，∴B＝150°..,sinsin3sinsinsin1222BCAACBABC求中，若：在△变式训练探究问题二：三角形中的化简求值例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。解:法一（化角为边）由余弦定理得：abcba2222bcosC＋ccosB＝＋c·acbca2222abcaacba22222222b·2a解法二:法二（化边为角）由正弦定理得：bcosC＋ccosB＝BCRCBRcossin2cossin2)sin(2CBR)sin(2AR2sin2aAR推广：在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB证明：由余弦定理知：，abcbaC2cos222cabacB2cos222右边=cabaccabcbab22222222abacacba22222222aa222左边aABCcba射影定理课本P18T3法二；几何法如图，过A点作AD⊥BC，RT△ABD中，BD=ccosB,RT△ADC中，DC=bcosCa=bcosC+ccosBD解法一：,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa代入得：,sinsin2sincoscosCABCBcabCB2coscos0cossin2BA即,0cossin2BA,sin)sin(ACBCBA又0sincossin2ABA21cos0sinBA32BB为三角形的内角，故。求角中，若、△例BcabCBABC,2coscos3由正弦定理得：（化边为角）BCBCsincoscossin)sin(CB,2cos222acbcaB解法二：由余弦定理得abcbaC2cos222cabCB2coscos代入得：acbca2222cabcbaab22222整理得,222acbca2122cos222acacacbcaB32BB为三角形的内角，故（化角为边）。求角中，若、△例BcabCBABC,2coscos3探究问题三:证明三角恒等式coscoscbAbcA例4：在三角形ABC中，三个内角为A、B、C，对应边cosB为a、b、c，求证：cosC方法一:边化角;方法二:角化边;探究问题四判断三角形的形状例5：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定解：方法一：bcosC＋ccosB＝b×a2＋b2－c22ab＋c×a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a＝asinA，sinA＝1，A＝π2.△ABC为直角三角形．故选A.方法二：bcosC＋ccosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinA·sinA，sinA＝1，A＝π2.△ABC为直角三角形．故选A.A的形状。断：根据所给的条件，判变式训练ABC2AbBacoscos1）（BbAacoscos2）（解：）（1AbBacoscos)2()2(222222bcacbbacbcaa222222acbbca2222baba为等腰三角形。ABC得法二：由AbBacoscosABRBARcossin2cossin20cossincossinABBA0sin）（即BABA解：）（2BbAacoscos)2()2(222222acbcabbcacba0422422bcbaca0))((22222bacba022222bacba或222bacba或角形。为等腰三角形或直角三ABC得法二：由BbAacoscosBBRAARcossin2cossin2BA2sin2sinBABA2222或2BABA或即2020/2/2[课堂小结]1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时要及时考虑另外一个定理．2.已知条件中既有边，又有角，解决问题的一般思路是两种：①利用余弦定理将所有的角转换成边后求解②利用正弦定理将所有的边转换成角后求解．解：(1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，(其中R为△ABC外接圆半径)所以cosA－2cosCcosB＝2c－ab＝2sinC－sinAsinB，(2分)所以sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB，思考题：在△ABC中，已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．说明：利用正弦定理把边化为角，是解（1）问的关键。即sinAcosB＋sinBcosA＝2sinBcosC＋2sinCcosB，所以sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，所以sinCsinA＝2.(4分)(2)由(1)知sinCsinA＝2，由正弦定理得ca＝sinCsinA＝2，即c＝2a.(6分)又因为△ABC的周长为5，所以b＝5－3a.(8分)由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即（5－3a）2＝a2＋（2a）2－4a2×14，(10分)解得a＝1，a＝5(舍去)，(11分)所以b＝5－3×1＝2.(12分)说明：利用余弦定理建立关于a的方程是解(2)问中的关键。