弦切角定理

知识回顾因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：1切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．O.lA如图,点A是⊙O与直线的公共点,且⊥OA.在直线上任取异于点A的点B,则△OAB是Rt△．llllAOB2.而OB是Rt△OAB的斜边，因此，都有OBOA,即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此是圆的切线．由此可得：l切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件：1.经过半径的外端；2.与半径垂直．应用格式(几何语言):OA是⊙O的半径OA⊥l于Al是⊙O的切线.•学习目标：•一、掌握定理；•二、定理的应用。观察辨析ADCBBACBAC（切点）（切点）m（切点）ABCBADC（切点）ABm.ABCO.ABOC.ABCO顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。已知：如图，AB切⊙O于点A,AC与⊙O相交，即：∠CAB是弦切角。1.观察：在图1中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直线BC与DE的交点落在圆周上.在图1中,根据圆内接四边形的性质,有∠BCE=∠A.OCABD图1EO(C)ABD图2E当DE变为圆的切线时(如图2),你能发现什么现象?在图2中,DE是切线,∠BCE=∠A仍然成立吗?１．如图(1)，圆心O在△ABC的边BC上.即△ABC是Rt△.２．如图(2),圆心O在△ABC的内部．即△ABC为锐角三角形.2.猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A.3.证明：分三种情况讨论．●ABCO(1)E3．如图(3),圆心O在△ABC的外部．即△ABC为钝角三角形.●ADCBO(2)PEA●PBCO(3)E综上所述，猜想成立.即∠BCE=∠A.如图，由于角∠BDE是由一条弦和一条切线组成的角，因此给它取名为弦切角.即:顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角.已知:如图,DE切⊙O于点D,DB与⊙O相交于点B,则:∠EDB是弦切角.O(C)ABDE4.因此我们可以将上述经过证明后的猜想表述为：弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.应用格式:已知:△ABD内接于⊙O，DE切⊙O于点D,则:∠EDB=∠BAD.•展示1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE垂足为D.求证:AC平分∠BAD.•展示2:如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.CBADOEBAEDCFO例1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE垂足为D.求证:AC平分∠BAD.CBADOE证明：连接BC．∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝900.∴∠B+∠CAB＝900.∵AD⊥CE,∴∠ADC＝900.∴∠ACD+∠DAC＝900.又∵AC是弦,且直线CE和⊙O切于点C,∴∠ACD=∠B.∴∠DAC=∠CAB,即AC平分∠BAD.例2:如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.BAEDCFO证明：连结DF.∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC.又∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.又∵⊙O切BC于D,∴∠FDC=∠DAC.∴∠FDC=∠EFD∴EF∥BC1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C，则图中弦切角有个.4若∠AOC=1200,则∠ACD=.OBDAC6002.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直径,若∠BCM=400,则∠ABC等于（）A.400B.500C.450D.600MCNBAO3.已知⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F为切点,若∠A:∠B:∠C=4:3:2,则∠DEF=,∠FEC=.B500700课堂练习：∠ACD,∠ACB,∠OCD,∠OCB.ABFEDC∵A=800,B=600,C=400.O∴∠DOF=1000,∴∠DEF=500.∵C=400,CE=CF.∴∠FEC=700.４.由圆外一点B引圆的切线BA,切点为A,过点B引直线BC交圆于点C,D,若取BE=BA,求证：∠EAC=∠EAD．EDCBA证明：∵BE=BA，∴∠BAE=∠BEA．又∵BA圆的切线，∴∠BAC=∠ADC.而∵∠EAC=∠BAE－∠BAC,且∠EAD=∠BEA－∠ADC.∴∠EAC=∠EAD.常用模型：△BAC∽△BDA!DCBA•一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质。课堂小节：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧度数的一半推论:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角圆周角直线和圆相切弦切角圆周角弧的度数圆心角应用5.EF切⊙O于点C,过弦AB的两端点A、B分别作AE⊥AB,BF⊥AB,OC交AB于点D.求证:(1)CE·CF=AD·DB;(2)CD2=AE·BF.EFDCBOA证明:连结AC,BC.∵EF是⊙O的切线，∴∠ECA=∠CBA,∠FCB=∠CAB.又∵AE⊥AB,BF⊥AB,∴四点A,D,C,E共圆;四点A,D,C,E共圆;∴∠ADC=∠CFB,∴△ADC∽△CFB.同理可得△ACE∽△CBD.……①……②6.如图,AB为⊙O的直径,BC、CD为⊙O的切线,B、D切点.求证:(1)AD//OC;(2)若⊙O的半径等于1,求AD·OC的值.DCBOA证明:(1)∵BC、CD是⊙O的切线，B、D切点.∴∠OBC=∠ODC=900.又∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.而∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,且∠BOD＝2∠BOC.∴∠BOC=∠DOC.又∵OB=OD,OC=OC.∴∠OAD＝∠BOC,∴AD//OC.∴Rt△OBC≌Rt△ODC.(2)连接BD,∵∠OAD＝∠BOC,∴Rt△OBC∽Rt△ADB.