二次函数y=ax2+bx+c的配方法

一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y=ax的相同，不同22开口方向、形状顶点、位置y=ax2y=a(x-h)+k2上加下减常数项左加右减自变量抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥0时，开口，当a﹤0时，开口，向上向下2.对称轴是；3.顶点坐标是。直线x=h(h,k)二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6直线x=－3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7）（2，－6）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）二次函数y=ax2+bx+c图象和性质xyo画出二次函数y=-x2-4x-5的图象，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值.配方:245yxx245xx提取二次项系数24454xx配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方2245x整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项221.x化简:去掉中括号老师提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式配方y=－(x+2)2－1(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式。y=-x2-4x-5吗？kh)a(xy改写成cbxaxy你能把22你知道吗?用配方法一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标吗？cbxaxy2cxabxa2提取二次项系数cababxabxa22222配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方cababxa22242整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.44222abacabxa化简:去掉中括号老师提示:这个结果通常称为顶点坐标公式..44222abacabxay4ab4ac)2abxa(4ab-4ac)2ab(xaac2ab2abxabxa)acxaba(xcbxaxy2222222222∴开口方向：由a决定;2abx对称轴：)4ab4ac，2ab（顶点坐标：2总结：二次函数y=ax2+bx+c的性质y=ax2+bx+c(a≠0)a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。x=-b2ax=-b2ay最小值=4ac-b24ax=-b2a(-,)b2a4ac-b24a(-,)b2a4ac-b24ay最大值=4ac-b24ax=-b2a①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－x2+4x-9例.求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴，并画出草图：21请画出草图:3－9－61、已知函数y=2x2-8x+1.（1）用配方法把它化为顶点式；（2）写出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(3)当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2、若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2，则a的值是.的形式，求出对称轴和顶点坐标．21522yxx2yaxhk2、用公式法把化为21522yxx15,1,22abc221541144221,2112422422bacbaa21122yx解：在中，，∴顶点为（1，－2），对称轴为直线x＝1。3．2yaxbxc图象的画法．2yaxbxc2yaxhk步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。（3）开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。4．二次函数2yaxbxc的性质：（1）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线2bxa2bxa24-,4acbya最小＝2bxa24-;4acbya最大＝如果a＞0，当时，函数有最小值，如果a＜0，当时，函数有最大值，（4）最值：2bxa2bxa2bxa2bxa①若a＞0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。②若a＜0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。（5）增减性：与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点①抛物线2yaxbxc2yaxbxc12,0,,0xx12,xx20axbxc②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根例4已知抛物线247,yxkxk①k取何值时，抛物线经过原点；②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以200407kk40221kba，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即22417440441kkacba24120kk122,6kk，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。22417440441kkacba解法一（配方法）：例5当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因为所以当x＝2时，。因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所以y有最小值，2281yxx224218842,7222442bacbaa－7y最小值＝－总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例6已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。211322yxx解法一：，102a∴抛物线开口向下，21169922xx21913222x21352x∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。211322yxx102a331222ba解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。例7已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．21041322041mmmmm，①②由②解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为21111232,222yxx。21122yxx即3.(1)抛物线y=－2x2+8bx+1的对称轴是直线x=2,则抛物线的解析式是.(2)如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是____．(3)抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上，则b=.4.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.二次函数y=-x2+bx+c图象的最高点坐标是（－1，－3），则b=,c=.已知a＜0，b＞0，那么抛物线y=ax2+bx+2的顶点在第象限.4、若抛物线y＝a(x-m)2+n的图象与函数y＝2x2的图象的形状相同,且顶点为(-3,2),则函数的解析式为.3、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-2x2形状相同,且顶点坐标为(1,-5)的函数解析式为.5、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x2形状相同,但开口方向相反,且顶点坐标为(-1,5)的函数解析式为.6.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c的符号：xoy根据图像可得：1、a＞02、—＞03、C＞0ab2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当