艾滋病疗法的评价及疗法的预测

高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：广州商学院参赛队员(打印并签名)：1.谭锦枝2.陈少年3.杨羽翎指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2015年7月13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要艾滋病疗法的评价及疗效的预测对改善艾滋病患者的生存期起着至关重要的作用，因此艾滋病疗法的准确预测评价及疗效的合理预测对艾滋病患者有着重要意义。本文运用MATLAB软件，采用图像拟合的方法预测药物治疗的最佳终止时间，主观反映了CD4浓度和HIV浓度的变化。（1）附件1公布了ACTG试验数据。在该试验中，356个病人同时服用三种药物，并每隔几周记录了每位病人的CD4和HIV的浓度值。本文首先剔除了一些可能由于死亡等原因造成的错误和无效的病人数据，然后依据医学机构公布的疗效标准，分析服药前后的疗效，将剩余的病人分成三类：CD4初始浓度低于40的，CD4初始浓度为41~100的，CD4浓度高于100的。（2）附件2的数据给出了四种治疗方案的CD4浓度的测量值。再按照病人年龄分成三个不同年龄段的小组。每个小组进行图像拟合。（3）根据题目给出的药物价格，综合考虑了效果和成本两个因素，利用药物经济学中的模型，通过比较四种方案的成本效果比和增量成本效果比，得到了与（2）不同的结果：方案三为最佳方案，其次为方案四。关键词：治疗终止时间图像拟合MATLAB2一、问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mgzidovudine或400mgdidanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine（扎西他滨）；600mgzidovudine加400mgdidanosine；600mgzidovudine加400mgdidanosine，再加400mgnevirapine（奈韦拉平）。请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3)艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mgzidovudine1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。二、模型假设1.假设问题中美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据能客观地反映现实且数据可靠。2.假设艾滋病疗法只考虑HIV和CD4的2个因素，不考虑CD8等因素的影响。3.假设问题二中CD4浓度只受病人年龄因素的影响。4.忽略病人免疫力、对药物及病毒的敏感程度等所有明显个体差异；5.每周病例的个数看成同一水平下重复试验的次数；6.问题三治疗费用只由治疗药品费用组成；3三、符号说明第m组第i个人在第k个时间段内CD4的浓度第m组第i个人在第k个时间段内HIV的浓度N样本总人数t测试时间y1CD4浓度y2HIV浓度四、问题分析艾滋病是由HIV病毒引起的一种危害性极大的传染性疾病。艾滋病病毒本身并不会引起任何疾病，但HIV病毒将人体免疫系统破坏之后，人体会失去抵抗能力感染各种疾病导致死亡。CD4细胞是HIV病毒的受体，也是HIV病毒的主要攻击对象，因此其浓度检测结果对艾滋病的判断和治疗效果有重要影响。4.1问题一的分析根据美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布病人同时服用3种药物的CD4和HIV浓度数据,可以预测治疗的效果，确定治疗的最佳时间。在剔除CD4浓度为0时的部分无效数据，无HIV浓度的无效数据和测试时间少于5组的无效数据后，留下333名病人的可靠数据。病人在不断恢复的过程中，HIV病毒受到药物治疗的影响增长速度降低而死亡速度提高；同时病人的免疫系统逐渐恢复，CD4浓度会逐渐提高。因此，药物治疗的最佳治疗时间是HIV浓度在上升阶段以及CD4浓度在下降阶段。根据这些数据的CD4初始浓度（即0时刻的浓度）分为三组：第一组为CD4初始浓度0~40病人数据，第二组为CD4初始浓度为41~100，第三组为CD4初始浓度为100以上的病人数据。其次根据3个时间间隔分成16个小组，分别是0，1~3，4~6，7~9，10~12，13~15，16~18，19~21，22~24，25~27，28~30，31~33，34~36，37~39,40~42,43~47时刻的病人数据。利用matlab软件拟合出一副以测试时间为横坐标的图像，CD4浓度为纵坐标（为图1，3，5）：拟合出一幅以测试时间为横坐标的图像，HIV浓度为纵坐标（为图2，4，6）。通过两个图像的比较，可以确定药物的最佳治疗时间。4.2问题二的分析4由于求病人CD4浓度的增长需要多组数据，因此剔除少于4组实验时刻的病人数据，保留其它有效且可靠的数据。通过附件2美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的CD4浓度数据，可以推测出药物治疗效果和不同年龄段的病人具有相关性。当病人体内CD4浓度最高时或开始持续高速增长时为最佳治疗时间；病人体内CD4浓度最开始增长或达到最高值为最优疗法。首先，根据医学标准将附件二中的病人CD4浓度数据合理的分成三组：第一组为年龄低于30岁的病人CD4浓度数据；第二组为年龄为31~50岁的病人CD4浓度数据；第三组为50岁以上的病人CD4浓度数据。其次，按照病人CD4浓度测试时间分成六个小组：0（0~4），8（5~12），16（13~20），24(21~28),32(29~36),40(37~44)。利用matlab软件拟合出以测试时间为横坐标x，疗法1三种年龄段病人CD4浓度分别为纵坐标y1，y2和y3（为图7）；以测试时间为横坐标x，疗法2三种年龄段病人CD4浓度分别为纵坐标y1，y2和y3（为图8）；以测试时间为横坐标x，疗法3三种年龄段病人CD4浓度分别为纵坐标y1，y2和y3（为图五）。根据图像的趋势可以确定最优疗法以及最佳治疗效果。4.3问题三的分析根据问题二求出的药物治疗最佳时间，求出每种疗法的费用。五、模型的建立与求解5.1问题1确定最佳治疗时间1）数据预处理附件1中病人的检测时间和检测次数都不一定相同，所以有必要进行数据预处理。总体来看，大多数病人检测次数为5。因此，将原始数据导入excel后，剔除CD4浓度为0时的部分无效数据、无HIV浓度的无效数据和测试时间少于5组的无效数据，保留其它可靠数据。根据CD4初始浓度分成三类：第1、2和3组病人的CD4初始浓度分别为0~40、41~100和100以上；根据病人测试时间分为时间间隔为3的16个小组。2）整理数据mikx表示第m组第i个人在第k个时间段内CD4的浓度；miky表示第m组第i个人在第k个时间段内HIV的浓度;N表示样本总人数求每个时间段的CD4浓度的平均值：NxxNiikmk/1m;NxyNimikmk/153）图像拟合为了方便分析，将病人数据整理后，求出相同时间且相同类型的全部病人CD4浓度和HIV浓度的平均值，如下表（表1，表2）时间段1组2组3组017.48669.913159.3411--320.31380.000179.9744--619.60468.481195.2667--918.94771.849216.18510--1219.20080.400193.00022--2419.00074.206225.55225--2711.50075.071200.30028--305.00062.500170.00037--3917.28676.714257.47340--429.50071.450220.96343--464.66757.500190.000表1各时间段CD4浓度平均值表2各时间段HIV的平均值利用上表汇总的数据，通过matlab软件对这些数据进行拟合。利用上表第时间段1组2组3组05.2025.0894.8251--34.4003.6672.1614--63.9923.0093.0537--93.7862.9562.71710--124.9002.8403.14322--244.6673.0392.63925--274.8572.9772.53728--305.1003.9003.88037--395.1002.5292.60040--424.1133.5882.64843--465.5503.3736一组即CD4初始浓度小于40各个时间段的病人数据绘制出散点图，再经过一次拟合，二次拟合，三次拟合，四次拟合和五次拟合比较后，发现四次拟合的图像能够较好的反映病人体内CD4浓度和HIV浓度的变化趋势。每个时间段CD4浓度平均值和HIV浓度平均值如下图所示（图1）。051015202530354010152025CD4平均值时期/T051015202530354044.555.5HIV平均值CD4HIV图1拟合后的输出的公式为：y1=-7.1e-005*x4+0.0063*x3-0.18*x2+1.4*x+17y2=6.7e-007*x4-0.00026*x3+0.014*x2-0.19*x+