分布函数及其基本性质

二、分布函数及其基本性质对于离散型随机变量,分布律可以用来表示其取各个可能值的概率,但在实际问题中有许多非离散型的随机变量,这一类随机变量的取值是不可列的,因而不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述,但是我们需要求出它落在某个区间内的概率.为此我们引入分布函数的概念.为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念.f(x)xo0.10.30.6kPK012———|——Xxx定义：设X是一个随机变量，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间(,]x的概率.说明X是随机变量,x是参变量。F(x)是随机变量X取值不大于x的概率。由定义，对任意实数x1x2，随机点落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1Xx2}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)离散型随机变量分布函数的计算设离散型随机变量分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,…由概率的可列可加性得X的分布函数为F(x)=P{X≤x}=∑P{X≤xk}=∑pk这里和式是对于所有满足xk≤x的k求和.F(x)是一个阶梯函数,它在x的每一个可能取值点kx处发生间断,其跳跃度正好是kp当x0时，{Xx}=，故F(x)=0例1212613110~X，求F(x).当0x1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=31F(x)=P(Xx)解:当1x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=316121当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=12,121,2110,310,0)(xxxxxF不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).3121120x612161OOO1)(xF已知X的分布律为XP10121111231212求X的分布函数，并画出它的图形。0(1)12(10)(){}56(01)1112(12)1(2)xxFxPXxxxx-11230.250.51xF(x)F(x)的示意图引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。P（Xb）=F(b)P（a≤Xb）=F(b)-F(a)P（X≥b）=1-P（Xb）=1-F(b)P（a≤Xb）=P(Xb)-P(Xa)=F(b)-F(a)X-123P1/41/21/43,4/12/14/132,2/14/121,4/11,0)(xxxxxF3,132,4/321,4/11,0)(xxxxxF•例:设随机变量X的分布律为求X的分布函数,并求P{X≤1/2},P{3/2X≤5/2},P{2≤X≤3}.解:由概率的有限可加性得即•P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4•P{3/2X≤5/2}=F(5/2)-F(3/2)=3/4-1/4=1/2•P{2≤X≤3}=F(3)-F(2)+P{X=2}=1-1/4+1/2=3/4例:设随机变量X的分布函数为4,142,7.021,2.01,0)(xxxxxF，(1)求)3(XP,)321(XP及)2(XP;(2)求X的分布律.解(1)7.0)3()3(FXP)321(XP5.02.07.0)21()3(FF)2(1)2(XPXP)02()02()2(1FFF8.05.07.01(2)由于)0()0()(000xFxFXXP,可得,2.002.0)1(XP故X的分布律为X-124Pk0.20.50.3)2()2(1XPXP,5.02.07.0)2(XP3.07.01)4(XP分布函数的性质1．F(x)关于x单调不减,即当21xx时,)()(21xFxF;2．1)(0xF，1)(lim)(,0)(lim)(xFFxFFxx;3．)()(aFbFbXaP）（;4．F(x)关于x右连续,即对任意0x,都有)()(lim)0(0000xFxFxFxx.试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数.例设有函数F(x)其它00sin)(xxxF解：注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.[2,]不满足性质(2)，可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.或者()lim()0xFFx例在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.解：设F(x)为X的分布函数，当x0时，F(x)=P(Xx)=00a当xa时，F(x)=1当0xa时，P(0Xx)=kx(k为常数)由于P(0Xa)=1ka=1，k=1/aF(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx)=x/aaxaxaxxxF,10,0,0)(21()1Fxx是不是某一随机变量的分布函数？不是因为lim()0xFx函数21(0)()11(0)xGxxx可作为分布函数