医用高数第二章一元函数微分学第二节：初等函数的导数

第二节初等函数的导数一、按定义求导数三、反函数的求导法则四、复合函数的导数二、函数四则运算的求导法则五、隐函数的求导法则六、对数求导法七、初等函数的导数八、高阶导数一、按定义求导数１．常数的导数0,)()(yCCxf则为常数设函数0lim00xyxyx即2．幂函数的导数由二项式定理有为正整数设函数),(nxynnnnnxxxnnxnxxxxyn)()(!2)1()(212..0)(常数的导数是零C所以])()(!2)1([limlim12100nnnxxxxxnnnxxy1nnx3正弦函数和余弦函数的导数2sin)2cos(2sin)sin(,sinxxxxxxyxy则设函数xxxxxxyxxcos22sin)2cos(limlim00.)(1nnnxx即xxsin)(cos即同理xxcos)(sin4．对数函数的导数则且设函数),10(logaaxya)1(loglog)(logxxxxxyaaaaxexxxxxxxxyaxxxaxxaxxln1log1])1(lim[log1)1(log1limlim000axxaln1)(log即特别地，ea时xx1)(ln并且处也可导在点分母不为零差、积、商则它们的和、处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu二、函数四则运算的求导法则证(1))()()(xvxuxf设xxfxxfxfx)()(lim)(0xxvxuxxvxxux)]()([)]()([lim0xxvxxvxuxxux)]()([)]()([lim0)()(xvxu证(3)),0)((,)()()(xvxvxuxf设xxfxxfxfx)()(lim)(0xxvxxvxxvxuxvxxux)()()()()()(lim0xxvxuxxvxxux)()()()(lim0xxvxxvxvxxvxuxvxuxxux)()()]()()[()()]()([lim0)()()()()()()()(lim0xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxux2)]([)()()()(xvxvxuxvxu推论nnuuuuuu2121)()1(nnnnuuuuuuuuuuuu21212121)()3(uCCu)()2()(为任意常数C2lnsinxxy例2-5已知函数,求yxxcos21xxxyln)102(24例2-6已知函数,求yxxxxxxy1)102(ln)102(2424解解)2(ln)(sin)()2lnsin(xxxxyxxxxxx1)102(ln])10()2()[(2424xxxxxx102ln)44(33xxxxxx102ln)1(432解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin例2-7已知函数,求yxytanxxx222cossincosxx22seccos1.csc)(cot2xx同理可得.sec)(tan2xx即解)cos1()(secxxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin.cotcsc)(cscxxx同理可得xxxtansec)(sec即例2-8已知函数,求yxysec例2-9已知函数,求yxxxxylnsin2解)lnsin(2xxxxy)ln()sin(2xxxx222ln)()(ln)(sinsin)(xxxxxxxxx22ln1cossin2xxxxxxxx22ln1cossin2xxxxxx三、反函数的求导法则定理2-1.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有导内也可在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.的单调性可知由)(xfy,0y于是有,1yxxy,)(连续xf),0(0xy0)(y又知xyxfx0lim)(yxy1lim0)(1y证明,xIx任取xx以增量给),0(xIxxx.)(1)(yxf即.的导数求指数函数xay例2-10解且单调可导上在互为反函数与,),0(log,logyayaxxxay0ln1)(logayya且上也可导在所以它的反函数,),(xayaaayyaxaxlnln)(log1)(即aaaxxln)(特别地,当时,eaxxee)(解,)2,2(sin内单调、可导在yIyx,0cos)(sinyy且内有在)1,1(xI)(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11.112x.11)(arccos2xx同理可得;11)(arctan2xx.11)cot(2xxarc.arcsin的导数求函数xy例2-11即)(arcsinx.112x四、复合函数的导数定理2-2为且其导数处可导在点则复合函数处可导对应点在而处可导在点设函数,)]([,)(,)(xxfyuxufyxxu即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则))()()]([xufxf或dxdududydxdy)0lim()(0uufuy故uuufy)(则证明,)(可导在点由uufy则有)(lim0ufxyxxyx0lim])([lim0xuxuufxxuxuufxxx000limlimlim)().()(xuf推广),(),(),(xvvuufy设则复合函数的导数为)]([xfy.dxdvdvdududydxdy)()()(xvufy或解则令,sin,34xxuuy)sin()(34xxudxdududyy)cos3(423xxu)cos3()sin(4233xxxx解则令,,cos,ln2xvvuuy例2-12已知函数,求y43)sin(xxy例2-13已知函数,求y2coslnxy)()(cos)(ln2xvudxdvdvdududyy22tan2)2()sin(1xxxxu例2-14已知函数,求y3221xy比较熟练后,中间变量不必写出来,直接按锁链法则对复合函数求导.解)21()21(31])21[(2322312xxxy)4()21(31322xx322)21(34xx例2-15证明幂函数的求导公式对任意实数指数成立.1)(aaaxxa证明将化为,则axyxaeyln)ln()(lnlnxaeeyxaxa11lnaaxaaxaxxxae例如,xxxx2121)()(21212211)()1(xxxx例2-16已知函数,求yxxysin)ln(sin)(lnsinlnsinxxeeyxxxx解为幂指函数,将其化为,则xxeylnsinxxysin])(lnsinln)[(sinsinxxxxxx)sinln(cossinxxxxxx例2-17已知函数,求yxxysinln2sin解)sinln2(sinxxy)sin(ln2sinsinln)2(sinxxxxxxxxxcossin12sinsinln2)2(cosxxx2cos2sinln2cos2例2-18放射性同位素碘广泛用来研究甲状腺的功能.现将含量为的碘通过静脉推入病人的血液中,血液中时刻碘的含量为(其中为正常数),试求血I131I1310NtkteNN0dtdN液中碘的减少速率.解)()(00kteNeNdtdNktktktktekNkeN00)(由上可知,这表明碘的减少速率与它当时所kNdtdN存在的量成正比.k.的导数求函数xxxy解)(21xxxxxxy))(211(21xxxxxxx))211(211(21xxxxxxxxxxxxxxxx228124例2-19五、隐函数的求导法则如果联系两个变量和的函数式是由方程来确定的，这样的函数称为隐函数.0),(yxFyx.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化例如013yx31xy（显化）15sin345xxyy（不能显化）问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?直接从方程两边来求导,称为隐函数的求导法则.0),(yxF例2-20已知函数是由椭圆方程所确定的,求yy解方程两边分别关于求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有x02222ybyax解得yaxby2212222byax例2-21已知函数是由方程确定的.求和yy0xy解方程两边分别关于求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有xyxyyey解得xeyyy.1,0yx从原方程解得时当1100exeyyyxyx所以exyey例2-22设生物群体总数的生长规律为rtlelxx110其中均为常数,且.试求生长率0,,xrl0l).(tx解将写成如下形式rtlelxx1100)1(0lxxlexrt两边对求导得txlerlexxlexrlexrtrtrtrt10整理得))1(()()1()1(020lxrkxkxrleelrlxxrtrt六、对数求导法方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形函数多个函数相乘除和幂指xvxu解两边取对数，得)]4ln()3ln()2ln()1[ln(31lnxxxxy两边对求导，得x例2-23已知函数,求y3)4)(3()2)(1(xxxxy)41312111(311xxxxyy)41312111()4)(3()2)(1(313xxxxxxxxy所以解两边取对数，得xxytanlnsinln求导得上式两边对xxxxxxyy2sectan1sintanlncos1xxysin)(tan例2-24已知函数,求y)sectanln(cosxxxyy)sectanln(cos)(tansinxxxxxxxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(21.基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaa