医用高等数学第一章课件

医用高等数学张绍军分子生物学馆110室[e-mail]第一章函数极限连续§1.1函数因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW变量y按照一定法则总有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,一、函数的概念(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D两函数等同,当且仅当它们的定义域和对应法则都相同.1.函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)()(的严格单调增加上是单调增加在区间则称函数Ixf)),()()(()()1(2121xfxfxfxf或恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI函数的特性)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)()(单调减少的严格上是在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI)),()()(()()2(2121xfxfxfxf或恒有2.函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy3．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的.)()(恒成立且xflxf为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl2l2l23l23lM-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX4．函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf二、函数的表示方法解析法列表法图象法三、几种特殊的函数类1.分段函数例如,0,0,||)(xxxxxxfy是定义在),(上的一个函数.xyoxyxy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.又如,1,110,2)(xxxxxf是确定在),0[上的一个函数.)4/1(f)4(f5)1(f211.对分段函数必须搞清每一个解析式所对应的自变量的取值范围;2.分段函数表示的是一个函数.注意12xoy例1..)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当1-1xyoxxxsgn(2)取整函数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线xy=[x][x]表示不超过的最大整数是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数（Dirichlet）(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg2.复合函数,uy设,12xu21xy定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv3.复合函数不能交换次序3.反函数0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy定义：设函数y=f(x)定义域为集合X，值域Y，并且对于每个yY，都有唯一的一个逆象xX与之对应，这样就可得到一个新的函数，Y为定义域，X为值域y为自变量，x为因变量。称为函数f的反函数2sinhxxeex双曲正弦xycoshxysinh),,(:D奇函数.2coshxxeex双曲余弦),,(:D偶函数.4.双曲函数xey21xey21五、基本初等函数1.常数函数)(是常数CCyoxyC2.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy3.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey4.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(5.三角函数正弦函数xysinxysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot正割函数xysecxysecxycsc余割函数xycsc5.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarc六、初等函数由六类基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.初等函数定义七、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)§1.2极限一、数列极限二、函数极限1.数列极限的定义2.收敛数列的四则运算一、数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术：播放——刘徽（一）、概念的引入R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS2.截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——《庄子·天下》;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111（二）、数列的定义如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举例:2,4,8,,2n,;{n21}21,41,81,,n21,;1,1,1,,(1)n1,.21,32,43,,1nn;x1x5x4x3x2xn数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,,xn,.•数列的几何意义•数列与函数数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数xnf(n),nN..})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放（三）、数列的极限当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为axnnlim.数列极限的通俗定义如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,或说数列是发散的，习惯上也说不存在.nxnnxlim（三）数列极限的四则运算bababannnnnnnlimlim)(limbababannnnnnnlimlimlim如果，那么aannlimbbnnlim)0(limlimlimbbababannnnnnnaCaCaCnnnnlimlim注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在。特别地，如果C是常数，那么也就是说：如果两个数列都有极限，那么由这两个数列的各对应项的和、差、积、商组成的数列的极限，分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（各项作为除数的数列的极限不能为0）。二、函数极限关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的极限时即)(,xfx二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势的极限时即)(,0xfxx（一）、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.通过上面演示实验的观察:.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx:.1定义定义1如果自变量x的绝对值x无限增大时函数)(xf无限趋近常数A，那末常数A就叫函数)(xf当x时的极限,记作)()()(limxAxfAxfx当或2.另两种情形::.10情形xAxfx)(lim:.20情形xAxfx)(limAxfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且3.几何解释:xfyA.)(,为附近的区域内直线图形落在函数无限增大时当Ayxfyx例1121limxxx(二)、自变量趋向有限值时函数的极限的变化趋势函数时考察1)1(2)(,12xxxfx当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限.1xyo4问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.设函数)(xf在0x的附近有定义（在0x点可无定义）,当x无论以何种方式趋近于0x（0xx）时函数)(xf都趋近常数A那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或1.定义2.几何解释:.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx0xAAA0x0x)(xfyxyo注1.当x→x0时，f(x)有无极限与f(x)在x0处的状态并无关系，我们只关心f(x)在x0附近的变化趋势，即x→x0时f(x)变化有无终极目标，而不是f(x)在x0这一孤立点的情况。所以约定x→x0但x≠x02.x→x0的方式是任意的3.常数函数的极限就是本身，CClim例2)13(lim2xx例3xxa0lim例4xxx1coslim0注在求解函数极限时，也可考虑对函数进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。3.单侧极限:例如,).(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx求设yox1xy112xy两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作左极限Axfxxxx趋向于时函数从左侧趋向于当)(00.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理例5.lim0是否存在验证xxx解：xxxxxx00limli