平行四边形判定-题型归纳(较难)

对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为()A．4a16B．14a26C．12a20D．8a32平行四边形的判定：1：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形4：对角线相互平分的四边形是平行四边形14.平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．过点A作AE⊥BC于点E；过点C作CF∥AE，交AD于点F；求证：四边形AECF为平行四边形练习：1、已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE．（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；证明：（1）∵△ABC为等边三角形，且AE=AD，∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60°∴EF∥BC，又∵EC=EF，∴△ECF为等边三角形，即∠EFC=∠EDB=60°，∴CF∥BD∴四边形BCFD为平行四边形．2、如图：平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM相交于点Q。试说明PQ与MN互相平分。3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题1：如图，在ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。求证：AF＝DF【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD。∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。∴四边形ABDE是平行四边形。∴AF＝DF。练习：1、如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．(1)求证：四边形AECF为平行四边形；【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD。∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN。∴AE∥CF。又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等）。在△ADE和△CBF中，∠DAE=∠BCF=90，AD=CB，∠ADE=∠FBC，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）。∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。2、如图：在ABCD中，HFGE,,,分别是四条边上的点，且,AECFBGDH,试说明：EF与GH相互平分．例题2：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形练习：1、如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.(1)求点B的坐标.(2)求证:四边形ABCE是平行四边形.(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.【解析】(1)∵∠AOB=30°,OB=8,∴AB=4,OA=4√3,∴B(4√3,4).(2)∵△OBC是等边三角形,∴OC=OB=8.∵D点为OB的中点,∴OD=4.又∵AD是Rt△OAB斜边的中线,∴AD=12OB=OD,∴∠ODA=180°-2×30°=120°,∴∠EDO=60°.又∠EOD=60°,∴△OED为等边三角形,∴OE=4,∴E(0,4),∴CE=4,CE=AB.又∵CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形.(3)∵GA=GC,∴GA2=GC2.即OG2+OA2=(OC-OG)2,OG2+(4√3)2=(8-OG)2,∴OG=1.16.平行四边形的判定（三）:两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题1：如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是【】A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形练习：1、如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形．．例题2：如图所示，试证明：四边形PONM是平行四边形．ABCxy练习：1、在ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.2、四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是()A．平行四边形B．两组对角分别相等的四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形3、等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．4、如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论．证明：四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，cdabdcba222222∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形17.平行四边形的判定（四）:对角线相互平分的四边形是平行四边形例题1：已知A（2,3）B（-2,5），A、B点关于原点的对称点分别为C、D，依次连接A、B、C、D点，则四边形ABCD是什么四边形？例题2、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，过A、C两点分别作AEBD于E点，CFBD于F点，求证：四边形AECF是平行四边形练习：1、如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD是平行四边形，BEAC，DFAC，E、F是垂足，G、H分别是BC、AD的中点，连接EG、GF、FH，HE为公园中小路，问小明从B地经E地，H地到F地，与小强从D地经F地，G地到E地，谁的路程远？2、如图所示，在ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AF=CE，求证：四边形BEDF是平行四边形．3、如图，在ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN，DE=BF，求证：四边形MFNE是平行四边形18.坐标平行四边形知识点总结：若A、B、C为已知点，则求一点D与他们构成平行四边形，则有三个点1D、2D、3D，则有1D=A+B-C2D=A+C-B3D=B+C-A（按照中点坐标公式和对角线相互平分性质）例题1、已知点A（﹣1，0），B（2，﹣1），D（0，1）．请在直角坐标系中找一点C与A、B、C、D四点构成平行四边形，则点C的坐标为______________________.练习：1、若以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为．例题2、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程27120xx的两根(OA0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)求A、B两点的坐标。(2)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由练习：1、如图xCyBC轴于点，BA轴于A点，B(3,4)，四边形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且AF=2．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由19.动点平行四边形例题1：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？QPDCBA练习：1、如图，在△ABC中，AB=AC，射线AM∥BC，点P从点A出发沿射线AM运动，同时点Q从点B出发沿射线BC运动，设运动时间为t（s）．（1）连接PQ、AQ、PC，当PQ经过AC的中点D时，求证：四边形AQCP是平行四边形；（2）若BC=6cm，点P速度为1cm/s，点Q的速度为4cm/s，填空：①当t为_______s时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形；（1）证明：∵D为AC中点，∴AD=CD，∵AM∥BC，∴∠PAC=∠ACB，在△ADP和△CDQ中，∠PAD＝∠DCQAD＝CD∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ（ASA），∴PD=DQ，又∵AD=CD，∴四边形AQCP是平行四边形；（2）①当Q在线段BC上，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得：t=6-4t，解得：t=1.2，当Q在C的右边时，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得：t=4t-6，解得：t=2，故答案为：1.2或2；2、如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF=FD；（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．解：（1）在Rt△AEB中，∵AC=BC，∴=12CEAB∴CB=CE，∴∠CEB=∠CBE．∵∠CEF=∠CBF=90°，∴∠BEF=∠EBF，∴EF=BF．∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，∴∠FED=∠EDF，∵EF=FD．∴BF=FD．（2）能．理由如下：若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF，∴BC=BF，∴BA=BD，∠A=45°．∴当∠A=45°时四边形ACFE为平行四边形．3、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．4、直线364yx与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止。点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O-B-A运动。（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。20.性质和判定综合例题1、如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）⊿AFD≌⊿CEB．[来源:学,科,网]（2）四边形ABCD是平行四边形．解：（1）因为DF∥BE，所以∠AFD＝∠CEB．又因为