4-2根轨迹法绘制的基本法则2

第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念4-2根轨迹绘制的基本法则4-3广义根轨迹4-4线性性能的分析4-2.绘制根轨迹的基本法则1．绘制根轨迹的基本法则2.闭环极点的确定法则1：根轨迹的起点和终点。根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。1．绘制根轨迹的基本法则♣当nm时，n-m条根轨迹终于开环传递函数的无穷远零点（称为无限零点）。法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数m、开环有限极点数n中的大者相等，连续对称于实轴。法则3：根轨迹的渐近线当nm时，有n-m条根轨迹趋于处，必须确定这些轨迹的趋向才能较准确地绘制根轨迹。）（，，110)12(mnkmnkmnzpnimjji11aa交点为的一组渐近线趋向无穷远处：当K*时，有n-m条根轨迹分支沿着实轴夹角为、法则4：根轨迹在实轴上的分布在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。简记为“奇是偶不是”。•法则5：根轨迹的分离点与分离角。(1)定义：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。(2)性质：a.分离点实质上就是特征方程重根的情况；c.若在实轴上两个相邻的开环极点（其中一个可以是无限极点）之间的区域为根轨迹区间，则在这区间内至少有一个分离点。若在实轴上两个相邻的开环零点（其中一个可以是无限零点）之间的区域为根轨迹区间，则在这区间内至少有一个分离点。b.因根轨迹对称于实轴，故分离点或位于实轴上，或以共轭的形式成对出现在复平面上。mjniijpdzd1111(4-20)式中，zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值；分离点的坐标d是下列方程的解：(3)求解：图4-8实轴上根轨迹的分离点j-4-3-2-101d2d分离点(4)说明：a.分离点方程有时可能是高阶方程，故求解时可用试探法。另外，分离点方程的解，不一定都是分离点，要结合图逐个检验。若为实分离点，则应位于实轴上的根轨迹区间内，若为复分离点，则应满足2kπ的相角条件。分离角为：lk/)12(011niipdb.若系统无开环有限零点，则方程为：c.分离角：根轨迹的进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角，称为分离角。mjniijpdzd1111其中，l：为进入并立即离开分离点的根轨迹分支数;k=0,1,…,l-1。d.判断分离角的简便方法：在分离点处，多条轨迹分支的切线将360°角平分。故只要知道其中一条，其余几条不难画出。图4-8实轴上根轨迹的分离点j-4-3-2-101d2d分离点j4p3p1p2pAB0[s]复平面上的分离点223120,2/)12(＝－时，当时，当分离角：kkllk-1j01-1-2-3例4-1.设系统结构如图，试绘制其概略根轨迹。)3)(2()1(ssssk)(sR)(sc解：画出s面上的开环零点-1，极点（0，-2，-3）。由法则4，实轴上[0，-1]，[-2，－3]是根轨迹。由法则2，该系统有三条根轨迹分支，由法则1，根轨迹分别始于0，-2，-3；终於-1和两个无限零点。有两条渐近线：232)12(，mnk213)1()320(11mnzpnimjji90°-90°交点坐标为：d=-2.47-1j01-1-2-390°-90°由法则5，实轴区域[-2,-3]必有一个根轨迹的分离点d，它满足下述分离点方程：mjniijpdzd11113121111dddd所以分离点为：d-2.47该方程可化为d3＋4d2+5d+3=0其根为：-2.4656，-0.7672j0.7926按上述法则画出根轨迹图：例4-2.设单位反馈系统开环传递函数为：试绘制闭环系统根轨迹。15.0)15.0()(2sssKsG解：)1)(1()2()(*jsjssKsG在s平面上开环极点有两个：-1j，开环零点-2。(1).实轴(-，-2]为根轨迹。(2).根轨迹有两条分支，始于-1+j和-1-j终於-2和。(3).在(-，-2]上有一分离点：jdjdd111121414.3d0242dd即解得：586.0d，作出该系统的根轨迹如下图所示：-1j01-1-2-2-1+j-1-jd=-3.4141-1-1从数学上可以证明出：由两个极点（实数极点或复数极点）和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K*从0变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。法则6:根轨迹的起始角与终止角：例4-3.设系统开环传递函数为：)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1()(*jsjsssjsjssKsG解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j开环极点为0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51).实轴上[-2.5,-)，[0,-1.5]为根轨迹。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的起始角，以θpi标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角，以表示。zi-2-12).根轨迹有4条分支：始于0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5；终于-1.5，-，-2+j，-2-j；3).无分离点；4).确定起始角与终止角：-2-1p2z2p1z1z3p3p4s1在p2附近的根轨迹上取一个试验点s1,由相角条件：当s1趋向于p2时，21ps就成为p2处的起始角θp2，则：)12(][][41312111312111kpspspspszszszs)12(][][4232212322212kppppppzpzpzppopppppppzpzpzpk79][][)12(42321232221222,1,0)()12(11kkmjnijjpppzpijijj即起始角：(4-23)同样的方法，可以导出终止角的公式：2,1,0)()12(11kkmijjnjzpzzzijiji(4-24)-1-2θ1=108.5°90°59°37°19°56.5°opppppppzpzpzpk7937905.10859195.56180][][)12(0000000423212322212290°121°153°199°63.5°117°oz5.149117901211991535.6318000000002-2方法2：根轨迹与虚轴交点说明该系统有部分根是纯虚根s=±j，因此，将s=j代入特征方程式，得到：法则7:根轨迹与虚轴的交点若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和可用劳斯判据确定；也可令闭环特征方程中的s=j，然后分别令其实部和虚部为零而求得。方法1：利用劳斯判据求：若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，意味着K*的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此，令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点出的K*值。0)()(1jHjG则可得出实部和虚部方程组：0)]()(1Im[0)]()(1Re[jHjGjHjG从方程组中解出ω就是根轨迹与虚轴交点坐标，同时还可以求出与此交点相应参数K*的临界值Kc*。说明：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表中必出现全零行，由辅助方程确定交点，进而求得K*c。例4-4设一单位反馈控制系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹。)22)(3()(2*ssssKsG解:⑴根轨迹的起点、终点及分支数⑵实轴上的根轨迹实轴上的0至-3线段是根轨迹的一部分。系统有4条根轨迹分支，它们的起点为开环极点(0,-3,-1±j1)，终点为无穷远处。⑶根轨迹的渐近线渐近线与实轴的夹角分别为±45°、±135°，渐近线与实轴的交点为σa=-1.25。σa-3-2.5-11-0.5-1-1.5-2jωσ⑷根轨迹的分离点6.71)6.2690135()12(180kip⑸复数极点-1+j1的出射角011niipd用试探法算出d≈－2.3。dσa-3-2.5-11-0.5-1-1.5-2jωσ4s18*K3s562s5/34*K1ss*K34/)25204(*K0)22)(3(*2Kssss0685*234Kssss⑹根轨迹与虚轴的交点系统特征方程为方法二：令s=jω，实部和虚部分别为零，得16.8,1.1*K解得：令劳斯表s1行的首项为0，得K*=8.16。根据s2行的系数，得辅助方程：0534*2Ks代入K*并令s=jω，解出交点坐标ω=±1.1.0685*234Kssssdσa-3-2.5-11-0.5-1-1.5-2jωσ065083*24K法则8:根之和。系统的闭环特征方程在nm的一般情况下，可以有不同形式的表示式中，si为闭环特征根。0)()()(*)(111111111niinniinniinnnnmjjniissssssasasaszsKps根据代数方程根与系数的关系，有：nniiniiasas111)(,♣当n-m≥2时，特征方程第二项系数与K*无关，无论K*取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和constapsniinii111♣说明：当开环增益K的增大时，若某些特征根在s平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。解：的根轨迹与虚轴相交时例已知系统)2)(1()()(sssKsHsG试确定这种情况下的第三的两个闭环极点22,1js闭环极点s3。0)()(1sHsG02323Ksss3321sss32233213jjsss根轨迹作图小结：(1)规则要熟记，不要死记硬背，这些规则都是由相角条件导出的，要记住两个基本条件：相角条件和模值条件；(2)作图要正规，绘制时，一定要标清[s]，σ轴，jω轴，且两坐标轴的分度要相同；(3)在各分支上，要写上起点K*=0，终点处K*=∞，分离点，与虚轴交点，且在分支上要画上箭头.(4)上述规则，确定的是根轨迹的主要特征或一些特殊点，其余部分仍是近似画出，故画根轨迹时需一定经验。2.闭环极点的确定当K*值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是此时的闭环极点。同样，利用幅值条件可确定根轨迹上任一点所对应的K*值。有时已知一对主导共轭极点的阻尼比ζ，要求确定闭环极点及其相应的开环增益。为此可先画出一条给定的ζ线，根据它与复平面上根轨迹的交点确定一对共轭闭环极点;然后用幅值条件求相应的开环增益，并用试探法求出满足幅值条件的实数极点。-1-2-30σjωa6060300a180K=1.06例1中，若给定一对主导极点的阻尼比ζ=0.5，605.0arccosarccos在图中作60º线可得它与根轨迹的交点为-0.33±j0.58，根据幅值条件，对应的开环增益为06.1)2)(1(58.033.0jssssK用试探法可以确定此时的另一个闭环极点为s=-2.33，由于m=0,n=4,所以模值条件06.1||1niipsK则：06.1|)2(||)1(||0|