数量关系难点解析：牛吃草问题

考仕网（）1数量关系难点解析：牛吃草问题在每年的公务员考试中，听到抱怨最多的就是数量关系模块，有些人面对难题毫无头绪，干脆放弃；也有些人耗费了大量时间，最终也还是没有做对。为此，考仕网（）名师特别挑选并解析数量关系难题：牛吃草问题。牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：（1）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；原有草量y,牛头数N，吃的天数，T草的生长速度xTxNy)(（2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；如果一批草场够1N头牛吃1T天,够2N头牛吃2T天,N那么满足2211)()(TxNyTxNy两方程相减得212211TTTNTNyx（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为1，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求考仕网（）2出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。核心公式：草场草量＝（牛数－每天长草量）×天数基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变，一般用来列方程每头牛每天吃草量不变，一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x”1基础计算例1:一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供20头牛吃12天，那么25头牛几天可以吃完？解法1：草的生长速度=（16×20-20×12）÷（20-12）=10牛/天原有草量=16×20-10×20=120牛吃的天数=120÷（25-10）=8天解法2：设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃n天。根据核心公式：(16-x)×20＝（20－x）×12＝（25－x）×n（16－x）×20＝（20－x）×12，得x＝10，代入得n＝8例2:有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20B.25C.30D.35解析:设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供n头牛吃4天根据核心公式：（10－x）×20＝（15－x）×10＝（n－x）×4（10－x）×20＝（15－x）×10，得x＝5，代入得n＝302吃草的动物不同已知一片草地够10头牛吃24天，够36只羊吃20天，1头牛一天的吃草量考仕网（）3够3只羊吃一天，这类不同动物吃草问题，应根据题意转化成同一种动物的吃草问题。例3:一片牧草，每天生长速度相同，可供14头牛吃30天，也可以供70只羊吃16天（一头牛1天的吃草量够4只羊吃一天），那么17头牛和20只羊几天可以将草吃完？解法:14头牛吃30天相当于56只吃30天，够70只羊吃16天；17头牛和20只羊相当于8820417只羊，草的生长速度40163016703056x原有草量48016)4070(y吃的天数104088480T(天)3草量持续减少这类问题的特点是每天草量没有增长，反而减少，即每天增长量是负值，同样可以根据前面的公式做出来。例4:由于天气逐渐冷起来，牧场上的草除了不长，反而以固定速度减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算可供多少头牛吃10天？（）A.4B.5C.6D.8答案：B解法:草的生长速度1056520615x原有草量1505)1020(y可供101010150头牛吃10天。4大小草场例5:如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？考仕网（）4A.50B.46C.38D.35答案:D解析:设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为y，24天内吃尽40公亩牧场的草，需要n头牛根据核心公式：33y＝（22－33x）×54，得y＝（2－3x）×18＝36－54x28y＝（17－28x）×84，得y＝（17－28x）×3＝51－84x解方程，得x＝1/2，y＝9，因此，40×9＝（n－20）×24，得n＝35，选择D【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。5动物或增或减在牛吃草问题中，草场不变，但吃草的牛的数量或增或减，对于这类问题，我们只需记住最本质的公式就行了。TxNy)(例6:一片牧草，每天生长速度相同，可供9头牛吃12天吃完，也可以供可供8头牛吃16天吃完，现在一开始有4头牛，从第7天开始增加了若干头牛，再过6天吃完所有的草，请问增加了几头牛？（）A.6B.8C.10D.9答案:C解析：假设增加了M头牛，原有草量y,牛头数N，吃的天数T,草的生长速度x;根据TxNy)(12)9(xy16)8(x6)4(6)4(xMx得10,5Mx在行测考试中牛吃草问题经常变形题的形式出现，象排队等候、抽水问题等。对于这种问题，我们首先要找出问题中所对应的原有草量，每天新长出的草量、牛头数，再套用公式求解。考仕网提供考仕网（）5